Cherchons la courbe polaire réciproque du cercle dont

le centre est c (fig. 32) et le rayon r\ par rapport au cercle o, pris pour courbe directrice. Soient G la polaire du point c et a f le pôle d'une tangente quelconque A au cercle c.

On aura (n° 55)

Fig. 32.

oa oc

Le rapport -j étant constant, le lieu du point a', c'est-à-dire

la polaire réciproque du cercle c, est une courbe du second degré dont le point o est un foyer et la droite G la directrice correspondante.

55. — Les transformations que nous venons d'opérer permettent de déduire des propriétés du cercle la plupart des propriétés des sections coniques.

Nous savons, par exemple, que deux tangentes au cercle c font des angles égaux avec la corde des contacts : or, ces tangentes ont pour pôle deux points [de la section conique qui est la polaire réciproque du cercle c, et la corde des contacts a pour pôle le point de rencontre des tangentes menées par ces points à cette conique. Si Ton joint ces trois pôles au centre o, on obtiendra trois droites qui feront entre elles les mêmes angles que les polaires des points considérés, et Ton aura ce théorème : La droite qui joint à un foyer d'une section* conique le point d'intersection de deux tangentes est bissectrice de V angle des droites qui joignent au mime foyer les points de contact de ces tangentes.

Nous savons encore que le lieu du sommet d'un angle constant circonscrit au cercle c est un cercle concentrique. Or aux deux côtés de cet angle correspondent deux points de la conique, au sommet de l'angle correspond la droite qui joint ces deux points, et puisque cet angle est constant, cette droite est vue du foyer sous un angle constant ; le sommet de l'angle décrivant un cercle ayant pour centre c, la droite enveloppe une section conique dont le point o est un foyer et la droite c' la directrice correspondante ; de là ce théorème : Une corde vue du foyer d'une section conique sous un angle constant enveloppe une section conique ayant mime foyer et mime direction que la section conique proposée.