CHAPITRE HL
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COORDONNÉS* TANCÉÏITÎfcLlfeS.
66. — On peut regarder une courbe sôit comme le lieu d'un point, Soit comtûê l'enveloppé d'uftè droite mobile. Or toute droite peut être représentée par l'équation px + qy = 1 ; comme à toute couple de valeurs de p et q Correspond une droite et une seule, on peut dire que p et q sont les coordonnées de cette droite; et si Ton donné entré p et q une relation f\p 9 q) = o 9 lorsque Tune de ces coordonnées variera d'une manière continue, l'autre variant aussi d'une manière continue, la droite se déplacera dans son plaii et enveloppera une courbe ayant pour équation, danS ce système de coordonnées,
Les quantités p et q 9 prises ainsi pour coordonnées, ont été appelées coordonnées tangentielles.
Lorsque le premier membre f(p,q) de l'équation précédente est algébrique, son degré représente la classe de la courbe.
En effet, si œ et j/ sont les coordonnées d'un point quelconque du plan, on pourra mener à la courbe, par ce point, autant de tangentes réelles ou imaginaires qu'il y aura de couples de valeurs de p et g satisfaisant simultanément aux deux équations
f(P, q) — o, px. + qy — î = o.
DBS GOOBDONNÉIS. 61
57» — Une équation du premier degré entre p et g, Ap+Bf ?=G*
représente le point ayant pour coordonnées x = ^, y = p » êa*
elle exprime que la droite qui a pour équation px + qy= i passe par ce point. Réciproquement, un point est représenté, en coordonnées tangentielles, par une équation du premier degré entre les coordonnées.
On voit que cette équation renferme deux coefficients ou paramètres arbitraires. Quand on la met sdus là forme q=ap + b, ces deux paramètres sont a et b.
58. — On peut trouver focilémeiit l'équation géftértte Ai» points appartenant à uflé droite donnée* GendidéroiW, en effet, l'équation d'tin point qûeleônque
qz=zap + b;
pour que ce point appartienne I la droite qui a pour coordonnées p r et q\ il faut que p' et g' vérifient l'équation du point, c'est-à-dire que Ton ait
Cette relation entre teâ deu* paramètres a et 6 détermine l'un dW en fonction de l'autre, par exemple b en fonction de m si l'on élinilne 6 entré kft êeitf équations précédâtes, on obtient l'éqtottion
qui renferme un paramètre arbitraire a f et qui représente tous les points situés sur la droite (p\g'). Quand on fait varier a, le point décrit cette droite.
59. — Le point d'intersection de deux droites données (p',g r ), (p",g"), appartenant à la première de (ses droites, est représentée par une équation de la forme
et, puisqu'il appartient à la seconde, les coordonnées p",g" satisfont à la relation
q?-çf = a(i/'-p').
En éliminant a entre les deux équations que nous venons d'écrire, on obtient l'équation
qui représente le point d'intersection des deux droites données. 60. — Soient a = o , (î = o deux équations du premier degré en p et ç, équations qui représentent deux points donnés, l'équation générale des points de la droite qui joint ces deux points donnés est
a— Jfcp = o,
k étant un paramètre arbitraire.
En effet, cette équation, ^tant du premier degré, représente un point, et ce point est sur la droite qui joint les points donnés puisque les coordonnées de cette droite, satisfaisant séparément aux équations a = , p = , satisfont à l'équation a — k$ = o.
61. — Le point de contact de la tangente (p\?') à la courbe f{p,q) = 0, n'est autre chose que la limite du point d'intersection de cette tangente avec la tangente voisine (p' + Ap', <( + tkx[) ; donc il est représenté par l'équation (n° 58)
ou bien, puisque
par
«— f=(P«^) Cp— jO,
A/>' '* fj*
En chassant les dénominateurs, cette équation devient
équation analogue à celle de la tangente en coordonnées rectilignes; et, si Ton introduit une troisième coordonnée r,de façon à rendre la fonction f(p>q) homogène par rapport à p, q 9 r, l'équation du point de contact se met sous la forme
P/V+tf/V + 'f^o.
Lorsque la courbe est du second degré, si p' et </, au lieu d'être les coordonnées d'une tangente, sont les coordonnées d'une droite quelconque, l'équation
représente le pôle de cette droite.
62. — La théorie des coordonnées tangentielles se ramène à celle des figures polaires réciproques.
Soit, en effet, f(p,q) = o, l'équation en coordonnées tangentielles d'une courbe donnée S. Chaque couple de valeurs de p et q qui vérifient cette équation représente une tangente A qui a pour équation, en coordonnées rectilignes, px+qy — 1 = 0. Or, prenons le cercle ayant pour équation «*+!/*•— » = ° et considérons le pôle a' de A par rapport à ce cercle; x et y étant les coordonnées du point a', la polaire de ce point a pour équation xx + yy — 1 = 0; et, puisque cette polaire n'est autre chose que la tangente A, on a x =p, y = ç, de sorte que l'équation
/"te, ïo)==o
représente le lieu du point a', c'est-à-dire la courbe S', polaire réciproque de la courbe proposée S.
Donc, l'équation f{p,q) = o représente, en coordonnées rectilignes, la polaire réciproque de la courbe qu'elle représente en coordonnées tangentielles. Cette considération permet , étant
64 LIYBI h **« GHAP. UI.
donnée l'équation d'une courbe en coordonnée» tangentielles, de trouver l'équation de cette même courbe en coordonnées rectilignes.
GÊNÉRàUSÀÎÎON DES COORDONNÉES RECTtLlôNES.
63. — Soient a, p, y» tt0 * fl polynômes du premier degré, savoir :
«ssAar + By + C,
Y = A*» + B*y + 0*, et considérons les trois droites
Un point quelconque du plan peut être regarda comme l'intersection de deux droites «astff, p e» 6f» et» comme à chaque couple de valeurs de a et de 6 correspond un point et un seul, les quantités a et i peuvent ttre regardées comme les coordonnées du point.
Voyons ce que devient Véquation f(x,y) » o d'une courbe, dans ce nouveau système de coordonnées. En remplaçant, dans les équations ai « ay t p «p *y» *>P*Y P*r l eurs valeurs eu fonction de a; et y» on obtient deux équations entre &» y, a et b s d'où l'on tire
__ gy— BC + (C # B y — B'C")a + (BCT— CB")& * ~~ AB' — BA' + ( A'B "— B'A> + (B A" — AB") b 9
C A 1 — ÀC + (C'A* — A'C")a -f. (AC" — C A*) »
' - AB'- BA'+ (A'B*L-&A> f^^M*)»'
Ces Valeurs de # et # sont des fractions rationnelles dont les deux termes sont du premier degré en a et 6 ; il en résulte que, si on
PES COORDONNÉE». 6fi
les porta da&f» l'équation f{$*y) «= o , on trouvera, pour représenter la courbe (tans le nouveau système de coordonnées, une équation <f{a,b) n o dont le premier membre, mis sous forme entière i est, par rapport aux variables, de même degré que
Il faut, à la vérité, pour que cette transformation soit possible, quç 1q dénominateur des valeurs de co et de y ne soit pas nul pour toutes valeurs da a et do b * c'eafr-Mira que Ton n'ait pas, à la fois,
A» — BA> = o, A'B" — B'A" = o, A r/ B — B'A =? o;
mais il suffit, pour que cette condition soit remplie, que les trois droites a = o, p = o , y ^= ° » ne soient pas parallèles entre elles.
Si, dans l'équation entre a et 6, on remplace a par - et b par ~, on obtient une équation homogène en a, (î, y.
64. — Ces nouvelles coordonnées! rectilignes sont susceptibles d'une interprétation géométrique simple. Considérons, en effet, un point quelconque, ayant pour coordonnées ordinaires x et y . Lorsque nous remplacerons, dans a, (3, y, les variables x et y par x et y , nous obtiendrons des quantités proportionnelles aux distances du point considéré aux droites a=o, p = o, y^ot Cela nous montre que lorsque, pour déterminer la position d'un point, on en donne les trois coordonnées a, |î, y, on fait connaître, & (tes facteurs constants près, les distances dç ce point aux trois droites a=o, p=o, y=o, et que, lorsqu'on donne les deux coordonnées a et 6, on fait connaître, toujours à des facteurs constants près, le rapport des distances du point considéré aux droites a = o et y = o et le rapport des distances de ce même point aux droites (3= et y x= o.
56 LIVKE I. — CHAP. III.
Si Ton faisait en sorte, ce qui est toujours possible, que, dans chacune des équations a = o, P=o, y = o, la somme des carrés des coefficients de x et de y fût égale à l'unité, tous les facteurs constants dont nous venons de parler deviendraient égaux à l'unité, et les coordonnées a, (î, y, a et 6, au lieu d'être proportionnelles, les unes aux distances du point aux droites, les autres aux rapports de ces distances, seraient précisément égales, les unes à ces distances, les autres à ces rapports.
65. — Ces remarques sur la signification géométrique des coordonnées a et b permettent de démontrer facilement le théorème dont nous avons déjà donné une démonstration (n° 5i). Soient, en effet, a et b les coordonnées d'un point (fig. 33),
et a = o, (J=o, y = o les équations des côtés BG, CÀ et AB du triangle ÂBG. Supposons que, dans chacune de ces équations la somme des carrés des coefficients de # et de y soit égale à l'unité. Nous aurons
__a ECsinC
EAsin A '
et
p DCsmC t^OBsinB'
a a FBsinB
Ê"~p~FAsinA"
Or, si, dans l'égalité | = „. ^ / , nous remplaçons a et b par
EGsinC DCsinC
leurs valeurs «T-^nr et nu Q ^ p » nous trouvons
EA sm A DB sm B
EGsinC
EAsinA FBsinB DCsmC ~~ FAsinA' DB sin B
d'où
FB.EA.DC [l) DB.EC.FA~~ ,#
Mais, comme nous convenons d'affecter les segments déterminés sur chaque côté du triangle du signe + ou du signe -— suivant leur sens, nous avons (n 1)
