GÉNÉRALISATION DIS COORDONNÉES TÂNGENTIELLES

6"7. — Ofi peut généraliser les coordonnées tangentielles de la même manière que les coordonnées rectilignes ; car si l'on prend trois points fixes À, B, C (fig. 34) , ces points seront représentés, en coordonnées tangentielles, par trois équations du premier degré en p et j, savoir <x = o, |3 = o, y = o; si Ton joint ces points

deux à deux par des droites, l'équation a = ay représentera un point quelconque D de la droite AG, l'équation

(3 = 6y un point quelconque E de la

Kg. 34. droite BQi et ces deux équations, prises

ensemble , représentent la droite DE , dont les coefficients a et è pourront Gtté regardés comme les coordonnée».

D'après cela, si ffaq)=o est l'équation d'une courbe en coordonnées tangentielles, en y remplaçant p et q par leurs valeurs tirées des équations «=?=ay f P — &Y» ° n aura une équation de la forme <p(a,6) ==o, ou bien, en employant trois coordonnées, <f (a,p,y) = o , et les premiers membres de ces nouvelles équations seront chacune, par rapport aux variables, du même degré que f{p,q) = o.

DES OOOBDODClSÉiB» 59

6& ~* Ces nouvelle* coordonnée tangentieHfcs sont iuseep* tibles d'une interprétation géométrique simple. Considérons, en eflet, la droite quelconque représentée, en coordonnées rectilignes, par l'équation px + qy<-~i e&o, et appelons 8 la distance de cette droite au point A , dont les coordonnées sont a? , y \ nous avons

ce qui revient à

si nous attribuons, dans a 9 aux variables p et g, les valeurs des coordonnées tangentielles de la droite donnée.

Nous trouverons de même, en appelant S, , S, les distances des points 6 et c à cette droite

\jp % +q % )Jp* + q*

Gela prouve que les quantités «» (J, y, lorsqu'on y donne, aux variables p et q, les valeurs des coordonnées d'une même droite, sont proportionnelles aux distances des points À, 8, C à cette droite, et, par conséquent, puisque

que Ton a

* Il • P

Ainsi, lorsqu'on donne, pour définir une droite, les deui Coordonnées a et &, on ne fait autre chose que donner le rapport des distances de cette droite aux points A et G et le rapport des distances de cette même droite aux points B et C. Si l'on donne les

trois coordonnées a , (3 , y , on fait connaître les distances mêmes de cette droite à ces trois points, ou, du moins, des quantités proportionnelles à ces distances.

69. — Les remarques que nous venons de faire sur la signification géométrique des coordonnées a et b permettent de démontrer facilement le théorème sur les transversales dont nous avons déjà donné une démonstration (n° 3â).

Soient, en effet, a et b les coordonnées de la sécante quelconque DEF (fig. 35); 8, 8 4 , 8, les distances des points A, B, G à cette sécante. Nous avons (n° 68)