CHAPITRE IV

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9U générale* de* «eotloii» coniques*

Théorème 1<

7l. — Par ctnqi pointe donnés réels on imaginaires, on peut toujours faire passer une section conique, et Von n'en peut faire passer qu'une.

Considérons quatre points, a, 6, c, d (fig. 36) et joignons-les

deux & deux par lea droites ai, 6e, ed, da dont ^ nous représenterons les équations par <x rw o, y = o, (î = o, 8 = o en posant pour abréger 8=±=m<* + ttP — «y. L'équation générale des P courbes du second degré, en prenant pour nouvelles coordonnées a* (3, y* est

Fig* 86,

Détërnrinoii* h» coefficient* en exprimant qm te court* ft*§§e

parles quatre points a, 6, c, d. La courbe passant par le point 6, son équation doit être satisfaite quand on y fait a = o, y = o; donc A' = o. De même, la courbe passant par le point c, son équation doit être satisfaite par y = o, (3 = o, et par conséquent A = o. Exprimons de même que la courbe passe par les deux autres points d et a, ou que son équation est satisfaite

par (3=o, 8=0, ou ce qui revient au même, par (3=o, Y=roa+np, etpara=so, yîsem*+np, il vient

A"m + 2B' = o, A"n+2B = oj d'où

De Ih résulte que l'équation de la courbe cherchée est oo ce qui revient au même,

*B"ap -f A f, Y (y — ma — n?) = o.

L'équation de la conique passant parler quatre points a, 6, c, d peut donc s'écrire simplement sous la forme

On voit immédiatement qu'il suffit de 8e donner un dûquïème point pour déterminer complètement l'équation. Soient en effet a', j3', Y ses coordonnées et 8* ee que devient 8 lorsqu'on y substitue les coordonnées de ce point ; on doit avoir

d'où

ce qui fournit pour fc litre Vâlëtir finie et déterminée à tnôtos que ce cinquième point ttè àe trouve sur une des droites <* = ô, $ == &, y r= o, 8 = o. La courbe se réduit dans ce cas à deux dtt)itè6.