De l'équation k = -| résulte la démonstration du tbéo
rème suivant :
Théorème II.
Un quadrilatère étant inscrit à une conique, le produit des distances de chaque point de la conique à deux côtés opposés du quadrilatère est au produit des distances du mime point aux deux autres côtés, dans un rapport constant
Réciproquement, le lieu des points Sun plan, tels que le produit de leurs distances à deux côtés opposés d'un quadrilatère, soit au produit des distances aux deux autres côtés dans un rapport constant, est une conique circonscrite au quadrilatère.
Cela résulte immédiatement de ce que le lieu défini par l'énoncé a pour équation
afi
-j=k ou ap — *yos=o;
On pourra d'ailleurs en faisant varier le rapport k obtenir toutes les coniques circonscrites au quadrilatère. Ces théorèmes ont pour corrélatifs les théorèmes suivants :
Théorème m.
73. — Cinq tangentes déterminent une conique et nen déterminent qu'une.
En effet, soient construits les pôles des cinq droites ; par ces cinq points on pourra faire passer une conique S' et on n'en pourra faire passer qu'une. La courbe polaire réciproque de S' sera une conique S tangente aux cinq droites, et il est évident qu'il <n'y a qu'une solution, la courbe S' n'ayant qu'une polaire réciproque.
Cherchons en coordonnées tangentielles l'équation d'une conique tangente à quatre droites.
Soient
a = o, p = o, Y=o, mot-J-nP — f =. 8 =
les équations en coordonnées tangentielles des quatre sommets du quadrilatère formé par ces droites. L'équation cherchée est :
(2) ap — Ay$ = o.
En effet, en coordonnées ordinaires cette équation représente toutes les coniques circonscrites au quadrilatère formé par les quatre droites a, (î, y, 8. Or ces quatre droites sont les polaires des points que les mêmes équations représentent en coordonnées tangentielles. Donc l'équation (2) en coordonnées tangentielles représente toutes les coniques inscrites dans le quadrilatère proposé. On pourra d'ailleurs en faisant varier k obtenir toutes les coniques inscrites dans le quadrilatère donné.
74. — Les quantités a, {3, y, 8 sont proportionnelles aux distances d'une droite arbitraire aux quatre sommets du quadrilatère ; on a donc ce théorème :
Théorème IV.
Un quadrilatère étant circonscrit à une conique, le produit des distances de deux sommets opposés à une tangente quelconque est au produit des distances des deux autres sommets à la même tangente dans un rapport constant.
La réciproque est vraie et peut s'énoncer ainsi : Lorsqu'une droite se meut de telle sorte que le produit de ses distances à deux sommets opposés d'un quadrilatère, demeure dans un rapport constant avec le produit de ses dislances aux deux autres sommets, cette droite enveloppe une conique inscrite dans le quadrilatère donné.
Théorème V.
75. — Si Ton joint un point quelconque d'une conique à quatre points fixes pris sur cette conique, le rapport anharmonique du faisceau est constant.
Qfi MVBft I. — CHAPt IV,
Soient a, £, c, d les quatre points fixes (% 3 7 ) j
/ les équations des droites ab, cd, bc, ad ; î'équa-
/ tion de la conique est :
* ^ — . — <*^tf
Fig. 37.
aP — kfi = o.
Prenoqa un point quelconque ?n sur cette conique et joignonsle aux quatre autres par les droites ma, mè, me, md. 1b exprimant de deux manières la surface des triangles mpi, mb*, «toi* road, nous arrivons aux égalité» s
aft X gt = am . bni&n (amh) bc X t = frn.ôm sin (fonc) cd X P = rm.dmsin(cmrf) rfa X $ = dm.am$\n(dma).
Tirons de là les valeurs de a, (5, y, S, et portons-les dans l'équat|çn de la conique* fl y\m\ ;
sin (ami) a [siacmb) . ab m cb #
sin (amrf) f (sincmrf) ad * cd'
ce qui démontre la proposition.
Théorème corrélatif.
Une conique étant inscrite dans un gwdrtifltërti m* Umgtto&t quelconque est coupée par les côtés du quadrilatère de telle sorte que le rapport anharmoniq/uç ^p^ipià^intersection est constant
Pour démontrer ce théorème il suffit de transformer le précédent par les polaires réciproques, En effet, fuix quatre pgiftts fixes correspondent quatre tangentes fixes de la coniqviç polaire réciproque, au point mobile m correspond une tqngenfë qçGÏ*-
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DBS 6ECT1CWS CONIQUES. 07
conque à cette conique, et enfin au faisceau ma> mb 9 me, md correspond le système dâgqifttre pourtftd'itfawection de cette tangente variable avec les quatre tangentes fixes. Il résulte du thétpègie précédent que leur rapport enharmonique est constant
Théorème VI.
76, Autour de deux points fi$& rayo*rmt faux faisceaux homographiques : le lieu des inlenectiowfas droite* correspondantes est une colique qui passe par les deu$ jKtmfl #w-
On dit que deux faisceaux de droite* soit homographiques, quapd le rappqrt anharmoniquç de quatre droites de l'un dm faisceaux, est égal au rapport anbajrçnQftjquç dos quatre droite» correspondantes dans l'autre.
Lea intersections a, 6, c de tro}s couple de droite hatnogr*»
pbiqifês, et les deux points faes çd (fig, 38) déterminent MS
^/V conique. Dec* froUga hpqiQgrapfeiqu^
\\y^/\ ^\k quelconques se couperont sur SGtte çmxr X/ Y// \/^ que en vertu du théorème V. Ainsi par / X^^'jj exemple, & hi àrtâte dd du système d cor-
N^— — -~?% respondra la droite od du système o,
^T^ paL que le rapport anhamonique to
deux faisceaux de quatre droites est le même.
Il résulte de là que la tangente en d à la conique est la droite du faisceau d qui correspond à la droite oo* du faisceau o\ et de môme que la tangente en o est la droite du système o' qui correspond à od dans le système o'.
Si la droite od m correspond à elle-même dans les deux systèmes, elle fait partie du lieu, et par conséquent les points a, 6, c, d sont en ligne droite; on peut énoncer ainsi ce résultat :
Corollaire. —Lorsque dans deux faisceaux de droites homogrsphiques il existe une droite qui se correspond à eHe-mâme r les points d'intersection des droites correspondantes des deux faisceaux sent sur une même ligne droite t
Si sur deux droites on a deux systèmes de points homographie ques 9 la droite mobile qui joint deux à deux les points correspondants enveloppe une conique tangente aux deux droites.
Ce théorème se démontre en transformant le précédent par les polaires réciproques, et Ton voit que si 5a et Sa' (fig. 39)
sont les droites fixes, pour avoir les points a et a!
où elles touchent la courbe G, il faut prendre sur
a , chaque droite le point correspondant de 5 con-
*ig- 3 «- sidéré comme faisant partie de l'autre. Si le point S
se correspond à lui-même, le lieu se réduit à un point. On a donc
ce corollaire corrélatif du précédent :
Corollaire. — Lorsque le point de rencontre de deux droites sur lesquelles se trouvent deux divisions homographiques se correspond à lui-même sur les deux droites, les sécantes qui joignent deux à deux les points correspondants passent par un même point.
Théorème VU.
77. — Deux angles de grandeur constante tournant autour de leurs sommets, si t intersection de deux côtés reste sur une mime
droite, le point d'intersection des deux autres côtés décrit une conique ,qui passe par les deux sommets fixes.
En effet, les deux faisceaux de droites om, dm (fig. 4°) so ût évi- --- demment homographiques, et il |en résulte que les droites om\ o'm r qui forment avec elles des angles constants a et p sont également homographiques. Donc le lieu du point m! est une conique passant par les deux points et 0' en vertu du théoftme précédent
Fig. 40.
Il est facile de construire les tangentes en o et o'. En effet, la tangente en o' est la droite correspondante de oo' dans le système om' ; menons donc en o la droite om , faisant avec oo' un angle égal à a, puis joignons o'm, et enfin faisons en o' l'angle m t oT3=P: oT est la tangente cherchée. On construirait de même la tangente en o.
A ce théorème se rattache le suivant :
Théorème VIO.
78. — Si, sur les deux côtés d'un angle, à partir du point où chacun est rencontré par une série de sécantes issues d'un point fixe, on prend des longueurs constantes, les cordes qui joignent les points ainsi déterminés enveloppent une conique tangente aux deux côtés de l'angle.
Soient o le point fixe, A et B les deux droites fixes , oab la sécante variable, m et m! des points tels que les distances am et bm' soient égales aux longueurs constantes données (fig. 4 1 ) . Les points a et 6 forment évidemment deux systèmes de divisions homographiques, et par suite il en est de même des Fig. 4i. points m et m'. Donc, d'après le théorème
corrélatif du théorème VI, la droite mm! enveloppe une conique.
79. — Les n côtés d'un polygone tournent autour de n points fixes, tandis que n — î sommets décrivent des droites fixes: le n 9 sommet décrit une conique.
Soient o t , o f , o 8 o n les n points fixes, A t A t A^ les
droites fixes, a n le sommet libre (fig. 4*) •
Les sommets Oj et a t forment sur A, et A t deux séries de points
70 LIVRE I. — ttiAfi. ÎV;
bomographiqtïf* ; d* même U t m H s 8ûr A, et A, , dône leé points
a, tt « 8 forment des Systèmes homographiques. En continuant ■" ainsi, on Arrive à voir que les points d t et a n , sont homographiques, et par suite que les droites a^ t a«, a 4 a n sont homographiques, donc leur intersection a n décrit une conique passant par les Fi 6- «- poinis o 4 et o n .
Théorème corrélatif,
Let n sqvmmU d'un polygone glimnt sur n droito /Lm* tentais que n — 1 côtés tournent autour de n— i pointe jtoe*; (0 jr rtfé enveloppa um conique,
Pour déaiQRtrer ce théorème, il suffît de transformer la figure que nous venons de considérer, par les polaires réciproques; cette trausfonnation montre eu môme temps que la conique est tangente aux deux droites fûtes eur lesquelles glissent les extréntités de la droite qui enveloppe la conique, ta démonstration que nous avons donnée du théorème direct
s'applique ; évidemment au cas du triangle. Dans ce cas on peut immédiatement trouver trois autres points de la conique. En effet, la droite a ± a t (flg. 45) peut occuper les trois positions : o t o^ o f o % , ao 9 et Ton reconnaît immédiatement que les positions correspondantes de a s sont s b 9 c, a.
Donc la conique doit passer par ces trais points» et comme elle passe en outre par o t et o t elle est complètement déterminée,
Fig. 43.
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES SECtlOïfS CONIQUES. 71
Théorème X.
80, — tes trois côtés d'un triangle tournent autour de trois points fixes, tandis que deux sommets se meuvent sur deux coniques passant chacune par deux des points fixes : le troisième sommet décrit une conique passant par tes deux points autour desquels tournent les côtés dont ce sommet est t intersection. Cela résulte immédiatement de ce que les droites a x m x , ajn t
(fig. 44) forment deux faisceaux homogf aphiqtiGS, car chacun de ces faisceaux est homographique avec le faisceau des droites m, m t » Donc, en vertu du théorème VI f le lieu du point m est \ une conique passant par les deux points
fcg. 44. a i ** a i«
Ce théorème généralisé s'énonce ainsi :
Théorème Xï.
82. — Les n cutis d'un polygone tournent autour de n points fixes, tandis que n — î sommets glissent surn — 1 coniques, la conique sur laquelle glisse chaque sommet étant assujettie à passer par les deux points autour desquels tournent les côtés dont ce sommet est le point d'intersection : le n' sommet décrit une conique passant par les deux pivots des côtés dont il est V intersection.
En effet, en procédant de proche en proche, on reconnaît facilement que les deux côtés qui déterminent le sommet libre font partie de deux faisceaux homographiques.
La transformation par les polaires réciproques conduit au théorème corrélatif suivant , qu'il suffira d'énoncer,
72 UVBE I. — CBAP. IV,
Théorème corrélatif.
Les n sommets d'un polygone glissent sur n droites fixes, tandis que n — 1 côtés roulent sur n — 1 coniques , chaque conique étant tangente aux deux droites fixes sur lesquelles glissent les extrémités du côté qui roule sur cette conique : le n e côté enveloppe une conique tangente aux deux droites sur lesquelles glissent les extrémités de ce côté.
Théorème ID.
82. — Si trois coniques ont deux points communs, les trois droites 'qui joignent les autres points d'intersection des courbes deux à deux passent par un même point
Soit S=to l'équation de Tune des sections coniques, a= o l'équation de la droite qui passe par les deux points communs, les équations des deux autres sections coniques seront de la forme S — fca(3=o, S — k'oLy=o. Les trois droites qui passent par les deux autres points d'intersection des courbes considérées deux à deiià sont donc (i=o, y=o, k$ — Ky = o 9 et on voit que la troisième] passe par le point d'intersection des deux premières.
Théorème corrélatif.
Si trois coniques ont deux tangentes communes, les trois points £ intersection des autres tangentes communes aux courbes deux à deux sont en ligne droite.
Le théorème XII fournit une démonstration élégante et simple du théorème important connu sous le nom de Théorème de Pascal, et qui s'énonce delà manière suivante.
Théorème XIII.
83. — Les points de rencontre des côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une conique sont en ligne droite. Soient m et n les points de rencontre des côtés opposés ab et
de, af et cd (fig. 45). Je dis que la droite mn concourt au point de rencontre des deux autres côtés opposés 6c et ef.
Considérons, en effet, les deux systèmes de droites ab et cd, af et de, comme deux coniques ; on reconnaît immédiatement qu'elles ont entre elles et avec la conique proposée la corde commune ad; donc les trois autres cordes concourent au même point. Or ces cordes sont mn, be et fe, ce qui démontre la proposition.
Bien dans notre démonstration ne suppose que les six points abcdef forment sur la conique un hexagone convexe, et le théorème s'énonce plus généralement en disant :
Six points étant pris à volonté sur une conique , si , partant de l'un d'eux, on passe par tous les autres avant de revenir au point de départ , et qu'on numérote les côtés dans l'ordre dans lequel on les a obtenus , les trois points d'intersection des couples de côtés opposés (1, 4) (V«>) (3 9 6) sont en ligne droite.
Le corrélatif de ce théorème, célèbre sous le nom de Théorème de Brianchon 9 est le suivant :
Théorème corrélatif.
Les trois diagonales qui joignent deux à deux les sommets op-
74 ***** i. — <fcA*. W«
po*& (Tun hexagone circonscrit à une conique passent par un
même point
Ce théorème a toute la généralité du précédent, c'est-à-dire que l'hexagone peut ne pas être convexe.
84. — Du théorème de Pascal et de celui de Brianchon on déduit plusieurs corollaires importante ;
Corollaires. Lorsque deux sommets consécutifs de l'hexagone inscrit se confondent, le côté intermédiaire devient une tangente à la courbe ; ainsi « un pentagone, un quadrilatère, un triangle inscrits dans une conique, jouissent de propriétés qu'on déduit de celles de l'hexagone inscrit, en complétant le nombre des côtés par des tangentes aux sommets.
En même temps que deux sommets de l'hexagone circonscrit se confondent, les deux côtés correspondants de l'hexagone circonscrit se placent en ligne droite, et le sommet intermédiaire devient le point de contact du côté double; ainsi , un pentagone, un quadrilatère, un triangle circonscrits à une conique jouissent de propriétés qu'on déduit de celles de l'hexagone circonscrit , en complétant le nombre des sommets par des points de contact.
Nous allons énoncer (tes propriétés.
Pentagone inscrit. — Du pentagone étant inscrit dans une conique, désignons seë côtés consécutife par lesnumérôs i ,2,3,4,5: le point de concours des côtés î et 4* celui des côtés 2 et 5, et celui de la tangente au sommet (i,5) avec le côté 5, sont en ligne droite.
Cette remarque permet, étant donnés cinq points d'une conique, de construire les tangentes à là conique en ces points. On peut en effet compléter l'hexagone successivement par chacune des cinq tangentes.
Pentagone circonscrit. — Désignons par les numéros 1,2, 3,4,5 les sommets d'un pentagone circonscrit à une conique. Les droites qui joignent tas sommets 1 et 4, a et 5 * et ta point de
PROPRIÉTÉS .GtNtilUU£S ORS SEtfttlftS CONIQUES. 76
contact du côté (i ,5) atefc te &omtuèt 9, «e coupent toi m même
point.
Il résulte de là qu'étant données cinq tangentes à une oooique, pn pourra trouver leurs points de coptect.
Quadrilatère inscrit. — Si Ton suppose que deux côtés d'un hexagone inscrit se réduisent à fcéro, on aura un quadrilatère inscrit, et les tangentes en deux sommets. Ces sommets peuvent d'ailleut* être adjacents ou opposés.
Dans le premier cas, on a le théorème suivant :
Si par deux sommets adjacents d'un quadrilatère inscrit dans une conique, on mène dès tangentes à cette courbe, les points de concours de chacune de ces tangentes avefc le côté adjacent au Sommet par lequel passe l'autre tangente, et le point de concours des deux autres côtés, sont trois points en ligne droite.
Dans le second cas, on a l'énoncé suivant :
Dans tout quadrilatère inscrit à une conique, îeâ points de concours des côtés opposés, et celui des tangentes menées par deux sommets opposées sont en ligne droite. Cet énoncé définit quatre points qui sont en ligne droite.
Quadrilatère circonscrit. — Voiéi, relativement au quadrilatère circonscrit, les deux théorèmes corrélatifs des précédents :
i° Dans tout quadrilatère circonscrit à une conique, les droites qui joignent deux sommets opposés aux points de contact des tangentes issues de l'un des deux autres sommets, se coupent sur la diagonale qui joint les deiix autres sommets opposés ;
2° Dans tout quadrilatère circonscrit, les deux diagonales et les droites qui joignent les points de contact des côtés opposés se coupent au même point,
Trungl» imûriîj *~ Supposons que l'hexagone inscrit se ré* duisé à un triangle, par l'évanouissement de trois côtés non con* séeutife. Le théorème de Pascal se jnodifie de lu manière suivante;
76 IIVRE I. — CHAP. IV,
Les points de rencontre des côtés d'un triangle inscrit avec les tangentes aux sommets opposés sont en ligne droite.
Triangle circonscrit. — Dans tout triangle circonscrit, les droites qui joignent les sommets aux points de contact des côtés opposés passent par un même point.
Comme application de ces deux derniers théorèmes, nous signalerons la détermination de la tangente en un point quelconque de la conique du théorème VI, et celle du point de contact d'une tangente quelconque à la conique du théorème corrélatif.
Enfin nous ajouterons qu'une conique étant donnée par cinq points ou par cinq tangentes, le théorème de Pascal et celui de Brianchon permettent évidemment de résoudre ces deux problèmes : construire un sixième point quelconque et la tangente en ce point ; construire une sixième tangente quelconque et son point de contact II est d'ailleurs aisé d'obtenir les éléments de la courbe. (Voyez les leçons de géométrie analytique, n*286.)
Nous donnerons encore le théorème suivant , comme complément de celui de Pascal.
Théorème XIV,
85. — Étant donné un hexagone inscrit dans une section conique, on prend les points d'intersection des côtés opposés, puis les points d intersection des trois diagonales avec les deux côtés opposés : les neuf points ainsi obtenus sont situés sur trois droites passant par un mime point.
La première partie du théorème résulte immédiatement de l'hexagone de Pascal. En effet, outre l'hexagone abcdef (fig. 46). dont les points de concours des côtés opposés forment un premier système de points en ligne droite, on peut former deux hexagones où les trois diagonales du premier entrait comme côtés, et les côtés de l'hexagone donné successivement comme
côtés opposés par rapport à ces diagonales : ce sont les deux
Fig. 46.
hexagones adcfeba et adebcfa. Les trois droites qui doivent concourir en un même point sont donc AB, A'B', A"B". Soient a = o, P = o, y = o, y* = ad + (î + e y = o, les équations respectives des droites ab,cd, ad, 6c. L'équation delà conique est
Les droites de et af, qui passent respectivement par les points d et a, ont pour équations n|î — y=o, ma — y=o.
Pour avoir l'équation de la droite be 9 cherchons les coordonnées du point où de rencontre la conique. A cet effet , remplaçons 7 par nfl dans l'équation de la conique : il vient a — n-f= o, équation d'une droite qui, passant par les points 6 et e 9 n'est autre que be. On trouve de même, pour l'équation de la droite fc, (3 — my=o. Cela posé, nous avons les coordonnées des points A, A', A", R, R', R", que nous écrivons dans le tableau suivant :
ma —
ny
— riY = o
IIVR8 ». — * GHiP. IY.
Les équations des droites AB, A'B\ À W B" sont par suite
ma + W P — ? = o ma, + «p -*- mn?' == o Y — mn-f' =b o
Ces trois droites passent par un même point, puisque l'équation de la troisième résulte des deux autres combinées par soustraction.
Théorème corrélatif.
Étant donné un hexagone circonscrit à une conique, on joint par (k$ imfà Us sommets Q.ppo$ès, pu\$ çHque wtnmet au point de concourt $es fyux cQté* adjaçtnU <MW qui passent par de sommet : les neuf droites ainsi obtenues passent trois à troiç par trois points % qui sont sur une même drçite s
Thçojrèjpç T£V.
80» ~~ On donne une comique H 4**? <M ses Umgentee; deux côtés (Sun trimçle mriable tournent auteur dç èe*n points fixes,
tendis q*4 demoo sommets çhssent sur le* d&M tangénies, et que ty cMqui te* tmpt reste tàn§ent é fa #p~ nique : te Heu décrit par le jroisièmç sommet est une a muiquepaèsantparlesdeux points fixes.
Soient a et 6 les points fixes, e et d Içs Sommets Fig. 47 qui décrivept les tangentes
o<Xj op; m le point décrivaai (fig. 4y)» les ^ystèn^s des points c
PROPRIÉTÉS G$NÉRALRS DBS SRtfUONS CONIQUES. 76
etd sont homographiques, d'aprte ta théorème corrélatif du théorème VI. Jtonc les faisceaux des droites am et bm sont homographiques , et le poiqt rçi décrit pe conique passant par les points a et 6.
Des positions particulières de la droite ci déterminent d'autres points de la courbe qu'il est bon de remarquer. Lorsque ci se confond avec Tune c'd r des deux tangentes menées par le point a à la courbe donnée , le point m occupe la position d\ Ainsi la courbe passe par les points de rencontre de là droite oj3 et des tangentes menées par le point a à la courbe donnée. Elle passe de même par les points de rencontre de la tangente 0% et des tangentes menées par le point 6. Enfin, lorsque la droite ci s'applique sur oa, la limite du point c est le point de contact p de oa ; celle du point d est le point 0. La courbe passe donc par les points de rencontre des droites ap, ob ; et de même par celui des droites bq, oa, Noijs connaissons ainsi huit points du lieu.
WM*»è*M «*»*éltttlf*
On imm* une eonique et deux peints fixe* mr cette <****#* deux sommets i'm triangle mriabk gUssmt sur deu# dPûétee fixes, tandis que deux côtés tournent autour des points fixes, et que le sommet qu'ils déterminent décrit la conique. Le troisième côté enveloppe une conique tangente aux deux droites fi$es.
Nous laissons au lecteur le soin de déterminer six autres tangentes, d'après des positions particulières du sommet qui décrit la conique donnée*
eeNffcrt» PAWAir par ^vatre points m tangentes
