A QUATRE DROITES
87. — Les coniques qui passent par quatre points fixes détm* minent sur tuie itmta fixe du points en inoêlutUn.
Soient a, &, c, d les points fixes (fig. 48), a=o, (ï=o, y= o, uyf , S = aa-|- b$ — y — °> ^ es équations des
m ^^— ^ — -Y"^C"~~~ droites 6c, ad, aft, de.
Soit encore
(i) ma -J- »p — y = °
Fig. 48.
l'équation de la droite fixe mm'.
L'équation de la conique peut se mettre sous la forme
(a) ap — h{ (a* + b$— t) = o.
En éliminant y entre les équations (i) et (2), nous obtiendrons une équation du second degré homogène entre a et fa Elle se décomposera en deux autres
« = *iP > a = k £>
qui seront celles des deux droites passant par le point d'intersection des droites ad et 6c, et par les points d'intersection de mm' et de la conique. Il reste à faire voir que ces droites sont en involution. Or l'équation du second degré étant
km(a — m)«* + ^P — W )P* +••••• = °>
on en déduit
kk *(* — ») m\a — m)
Ce produit étant constant, les droites en question forment involution, et les droites <x=o, (î=o, ou 6c, ad, sont deux droites conjuguées.
L'involution est définie par les données. Car deux côtés opposés du quadrilatère coupent la sécante en deux points conjugués et deux systèmes de deux points conjugués déterminent une involution.
Les deux points doubles de l'involution sont les points de
contact de deux coniques tangentes & la droite rom\ et passant par les quatre points.
Corollaire. Par quatre points donnés, on peut faire passer deux coniques (réelles ou imaginaires) tangentes à une droite donnée. Les considérations précédentes permettent de construire les points de contact, d'après la théorie de Tinvolution.
Les tangentes menées par un point fixe aux coniques tangentes à quatre droites fixes sont en inwlution.
Les deux droites doubles sont les tangentes à deux coniques passant par le point fixe et tangentes aux quatre droites.
Corollaire. On peut faire passer par un point donné deux coniques tangentes à quatre droites données. La construction résulte de ce qui précède.
Théorème II.
88. — V enveloppe des droites qui sont coupées harmoniquement par deux coniques données est une conique.
Rapportons la figure aux trois côtés du triangle dont les sommets sont les pôles doubles du système des deux coniques. L'équation de l'une- des coniques est de la forme
Aa* -f Bp f + Cf* + aDpY + aE^a -f- aFap = o.
Il faut exprimer que chaque sommet du triangle est' le pôle du côté opposé. Or la polaire d'un point quelconque (a',^^ 1 ) a pour équation
Les coordonnées du point m où se rencontrent les axes a et p sont a' = o , £J' = o. La polaire de ce point a donc pour équation
fy se o« En identifiant cette équation avec y = o, on obtient
On trouverait de même F = o. L'équation de la conique est donc, si l'on fait Gc=i t
Soit pa + çp — y=o l'équation de la sécante mobile. Si nous éliminons y entre ces deux équations, nous obtenons une équation homogène du deuxième degré qui représente les deux
—-^ droites ma, ma! (fig. 49) • Cette équation est
Fig. 49.
On a de même, pour représenter les deux droites mb, mb', l'équation analogue
(A' -f p V + (B' -f q*) p -f *pq4 ts± o,
en observant que l'équation de la deuxième conique est
AV+B'P»+y , = o.
Exprimons, que ces droites sont en involution, k représentant la coordonnée d'une droite, la condition, pou* que quatre droites soient harmoniques conjuguées, est
k *— k % 4 ftp'-' * Kf — - /fcj Ajj k t
ou
à (Wt + Mi) - (*o + *j (* t + *,) *; o.
Noua ayons à remplacer ici k Q et k { par les racines de l'équation (i) et k %i k è par les racines de l'équation (2)* Si l'on fait cette substitution , ce qui est très-simple, puisqu'on n'a besoin que de la somme et du produit des racines, il vient pour équation en coordonnées tangentielles de la courbe cherchée
Cette équation étant du second degré, on voit que l'enveloppe cherchée est une conique, et comme elle ne renferme que des termes carrés, chaque côté du triangle mnp est encore la polaire du sommet opposé par rapport à cette conique.
Corollaire. Quand la droite mobile passe par l'un des points d'intersection des coniques, elle devient tangente en vertu de ce principe que si, dans un système de quatre points formant une proportion harmonique, deux points viennent à se Confondre, il y en a décessairement un troisième qui se confond avec ces deux* Les tangentes menées aux coniques données par les points d'intersection sont donc des positions particulières de la droite mobile* Ces positions sont au nombre de huit, d'où ce théorème :
Si, aux quatre points d'intersection de deux coniques , 011 mène des tangentes à ces courbes, on a huit droites qui sont tangentes à une môme conique*
Théorème corrélatif*
Le lieu dès points d'où Us tangentes menées à deux coniques fixes forment un faisceau harmonique est une conique*
De plus, les huit points de contact des quatre tangentes Communes sont sur cette même conique.
Théorème m.
89. — Les polaires d'un point fixe, par rapport à toutes les coniques meiiéeé par quatre points donnés, passent par un même point.
Soient S = o , S' = o , les équations de deux coniques particulières passant par les quatre points. L'équation générale de toutes les autres est S — k S' = o , k étant un paramètre arbitraire. Soient maintenant a = o, a'==o, les polaires du point fixe par rapport aux coniques S et S'. L'équation de la polaire du même point par rapport à la conique S — fcS' est a — k a' = o ; et Ton voit que toutes les droites représentées par cette équation passent par le point d'intersection des droites a = o , a'== o.
Si l'on veut construire ce point, on peut prendre pour coniques particulières deux des systèmes de droites passant par les quatre points.
Théorème corrélatif.
Les pôles d'une droite fixe par rapport à toutes les coniques tangentes à quatre droites fixes sont sur une même droite.
Corollaire. En supposant que la droite s'éloigne à l'infini , on arrive à ce résultat , que :
Le lieu des centres des coniques inscrites dans un quadrilatère est une ligne droite.
On a immédiatement trois points de cette droite en considérant les trois diagonales comme limites d'ellipses inscrites; les milieux de ces diagonales appartiennent à la droite. Cela démontre incidemment que les milieux des trois diagonales d'un quadrilatère complet sont en ligne droite.
Remarque. — Étant donnés un quadrilatère auquel différentes coniques sont circonscrites et le point fixe par rapport auquel on prend les polaires, le point par lequel passent toutes ces polaires est son conjugué réciproque.
Théorème IV.
60. ' — On donne un quadrilatère auquel une série de coniques sont circonscrites et une droite sur laquelle se meut un point : le
lieu du conjugué réciproque de ce point par rapport à deux quelconques de ces coniques est une conique fixe.
Soient a,b,c,d les sommets du quadrilatère, M la droite donnée, p un point de cette droite, p' son conjugué (fig. 5o).
Soient S et S' deux des coniques circonscrites au quadrilatère, r et s les pôles de la droite M par rapport à ces coniques.
Les polaires ef du point p par rapport à s forment, lorsque ce point se déplace, un faisceau passant Pi g . bo. par le point r et ayant
même rapport anharmonique que le système des positions correspondantes du point p. 11 en est de même pour le faisceau des polaires grftpar rapport à la conique S', qui toutes passent par le point. Donc ces deux faisceaux sont homographiques. Le lieu du point p' intersection de deux droites correspondantes dans les deux faisceaux est donc une conique passant par les points r et s. — Il résulte de cette démonstration que tous les points tels que r et « se trouvent sur une même conique, d'où cet autre énoncé du théorème :
Le lieu des pôles d'une droite fixe par rapport à toutes les coniques passant par quatre points fixes est une conique.
On a immédiatement trois points de cette conique, en prenant pour trois des coniques deux côtés opposés du quadrilatère, les deux autres côtés et les deux diagonales. Gomme le pôle d'une droite quelconque par rapport à un système de deux droites est l'intersection des deux droites, il en résulte que dans le problème qui nous occupe, quelle que soit la position de la droite M,, la conique dont il s'agit passe toujours par trois points fixes qui sont les points d'intersection des côtés opposés du quadrilatère et celui des diagonales.
86 UVBE L — CHAP. IV.
Théorème corrélatif.
Les polaires d'un point fixe par rapport aux coniques inscrites dans un quadrilatère fixe enveloppent une conique.
