CONIQUES TANGENTES A DEUX DROITES DONNÉES EN DEUX POINTS DONNÉS

91. ~ Cherchons l'équation d'une conique tangente aux deux droites a=o et fi = o aux points où elles sont coupées par la droite f = o.

Nous avons trouvé pour l'équation générale des coniques circonscrites à un quadrilatère

af — fc-fS = o.

En supposant que les points d'intersection de 8 avec a et (î se rapprochent indéfiniment des points d'intersection de y avec les mêmes droites, on voit que la conique tend à devenir tangente à a et § aux points de rencontre avec y, d'ailleurs 8 tend vers y ; donc en passant à la limite, l'équation de la conique cherchée est

(i) ap— .*r 8 =o.

En se donnant un point de la courbe, on détermine la constante fc, donc un point suffit pour achever de déterminer cette conique.

En coordonnées tangentielles l'équation (i) a encore la même signification; a = o, 8= o sont alors les équations des deux points de contact, y = o celle du point de concours des tangentes.

L'équation (I) , en coordonnées homogènes se traduit ainsi :

Théor èm e I,

le produit des distances d'un point quelconque d'une conique à

deux tangentes fixes est proportionnel au carré de la distance du même point à la corde de contact.

La même équation, en coordonnées tangentieUes, donne l'énoncé suivant.

Le produit des distances de deux points de contact de deux tangentes fixes à une tangente mobile est proportionnel au carré de la distance du point S intersection des deux tangentes fixes à la tangente mobile.

Théorème il.

92. — «■ On donne une conique et un point p, par ce point on mène une sécante qui coupe la conique en deux points a et a'. Si Ton prend un point o fixe sur la conique, les droites oa, ça' forment involution.

Menons par le point p (fig. 51) les deux tangentes pc et pd.

Les quatre droites ip, ca, cd et cd forment un faisceau harmonique; donc il en est de même des quatre droites qui joignent les points c, a, d 9 a' au point o, et par conséquent les droites oa et oa' forment inyolutfg. s*. tion.

Les droites doubles sont oc et od.

Théorème corrélatif.

Étant données une conique et une droite fixes , par chaque point de la droite on mine des tangentes à la conique : elles déterminent sur une tangente fixe des points en involution.

Les points doubles sont les points d'intersection de la droite avec la conique.

Théorème m.

93. — Étant donnés une conique et un point fixes, par ce point on mène un système de droites formant involution; V enveloppe de la droite qui joint les points d'intersection de deux droites conjuguées avec la conique est une conique.

Soienta = o, (î = o les équations des droites doubles ; les équations de deux droites conjuguées sont a = ± a$ ; représentons par a — m(î= o , a — nfî= o , les tangentes réelles ou imaginaires menées à la conique proposée par le point donné p (fig. 52), et pary=o la Fig. 5«. corde de contact, ou la polaire du

point p. L'équation de la conique est alors

(oc — 77$) (a — nP) — krf = o.

Représentons la droite ba dont nous cherchons l'enveloppe par

Pour trouver les points d'intersection de cette droite et de la courbe, nous éliminerons y entre leurs équations ; il vient

r a (ot — m$)(* — np) — A(pa+Jp)* = o.

Cette équation homogène en a et (3 représente les droites pa et pb. Pour exprimer qu'elles forment une involution dont les droites a et (1 sont les droites doubles, il suffit d'exprimer que le coefficient du terme en a(ï est nul. La condition est

, m + n t pq -f £- r» = o.

Cette équation est celle du lieu en coordonnées tangentielles. On voit que ce lieu est une conique tangente aux droites représentées dans le premier système par les équations a =o,p=o, suivant la droite y= o. On connait encore quatre autres tangentes à cette conique : ce sont les tangentes menées à la courbe donnée par les points où elle rencontre les droites doubles.

On peut supposer, dans cette question, que le faisceau de droites en involution est formé par les diamètres conjugués d'une conique, ce qui permet d'énoncer le théorème sous une forme un peu différente.

Théorème corrélatif.

Étant donné sur une droite un système de points en involution, on mène par ces points des tangentes à une conique : le lieu des points £ intersection des tangentes correspondant à deux points conjugués est une conique.

Cette conique passe par les points doubles dévolution et par les points de contact des tangentes menées des points doubles à la courbe proposée. Enfin elle passe aussi par les points d'intersection des tangentes menées à cette courbe par le centre d' involution avec les tangentes parallèles à la droite donnée. Nous avons ici dix points situés sur une même conique. Il en résulte un théorème qui peut s'énoncer sans qu'on fasse mention de la théorie de l'involution, et auquel nous ne nous arrêtons pas.

Théorème IV.

94. — Quand deux coniques sont inscrites dans un même angle 9 il y a deux sécantes communes qui passent par le point d'intersection des cordes de contact.

En effet, en retranchant membre à membre les équations des deux coniques, mises sous la forme

90 LIVRE I. — CflÀp. IV.

on trouve pour les équations de deux des sécantes communes

et l'on voit que ces sécantes passent par le point d'intersection des cordes de conctact y et 8.

Corollaire, On peut établir une correspondance entre les

Fig. 53.

points du plan pris deux à deux. Soient a, £, y les coordonnées d'un point a (fig. 53). Posons

Vft ? s / '

a' §' S' sont les coordonnées, relativement aux axe3 *, (ï, 8, d'un point a'. Il est aisé de voir, en tirant de nos relations les valeurs de a et de (î, que si le point a est sur la première courbe, le point a' est sur la seconde. Gela a lieu quel que soit le signe

donné à i/ p . On passe des points de la première courbe à ceux de la seconde par l'une ou l'autre de ces deux transformations.

Désignons par o le point de rencontre das tangentes commîmes a et p. Les points a, cl sont sur une même droite menée par le

point o. Gela résulte de la relation - = &. Ainsi menons par le

pomtou^esécantequirencontrelapremière courbe enaeta lf la seconde en a' et a\. Au point a correspond le point a' ou le point a' 4 ,

suivant le signe qu'on donne à l/p ; au point a x correspondent

respectivement dans les mêmes cas a\ et ai.

Par cette transformation, une droite donne une autre droite. Car l'équation

an -J- ba = y

devient

Deux droites correspondantes se coupent sur l'une des droites

c'est-à-dire sur l'une des sécantes communes dont on a parlé.

Si donc on mène deux sécantes oa, 06, les cordes 6a, Va' se coupent sur l'une des droites d'intersection mn des deux coniques; afi x , a\b\ se coupent sur la même droite mn. Mais les cordes ab et a! l b\ , a i b l et etb 1 se coupent sur l'autre des deu* sécantes communes en question, ro'n'.

En faisant tendre le point b vers le point *, on voit que le même théorème s'étend aux tangentes en a, a', a t , a' t : elles doivent se couper sur mn ou sur mV.

Problème I.