CHAPITRE I
112. On dit que deux figures sont homographiques lorsqu'à un point de Tune des figures correspond un point de l'autre, et à une droite une droite.
Appelons x, y, z les coordonnées rectilignes homogènes d'un point quelconque de la première figure, x\ y', z' celles du point homologue de la seconde, on peut regarder x\ y', z' comme proportionnelles à des fonctions homogènes de x, y, z. Pour qu'à une droite quelconque
de la seconde figure corresponde une droite de la première, il est nécessaire que x' 9 y', z' soient proportionnelles à des polynômes entiers homogènes du premier degré en x y y, z. Ainsi les formules de transformation sont de la forme
ax-\-by+cz o^ + ^y + c^ ût* + *#+*«**
114 UVEE lï. — CHAP. I.
Si on les résout par rapport à x, y, z, on obtient des formules inverses de la même forme
a'z'+b'i/ +cV a'&'+b'rf+c'J a^x' + b'^ + ^zf
d'où Ton conclut que réciproquement à toute droite de la première figure correspond une droite dans la seconde.
Quand trois points sont en ligne droite dans Tune des figures, les trois points homologues sont aussi en ligne droite dans l'autre figure. Quand trois droites passent par un même point dans Tune des figures, les trois droites homologues passent aussi par un même point dans l'autre figure.
À l'infini de la première figure correspond dans la seconde figure la droite F qui a pour équation
De même, à l'infini de la seconde figure correspond dans la première figure la droite I représentée par l'équation
Quand des droites dans la première figure se coupent sur la droite I, ces droites deviennent parallèles dans la seconde figure.
A une courbe donnée correspond une courbe du même degré et de la même classe. Le degré se conserve ; ceci résulte de la forme des relations (1) et (2). La classe se conserve aussi, car à une tangente correspond une tangente. En particulier, à une conique correspond une conique.
Ainsi les propriétés purement descriptives d'une figure subsistent dans la figure homographique.
113. — Supposons que l'on rapporte la première figure à un triangle quelconque et la seconde au triangle correspondant Appelons a, {J, y les coordonnées d'un point quelconque de la première figure par rapport au premier triangle, a', p' f y' celles du point homologue de la seconde figure par rapport à la se-
HOMOGRAPHIE. 115
conde figure ; les formules de transformation se réduiront à la forme simple
aa' ~ b? ~~ y'
car aux droites a =0, P = o, y = o doivent correspondre respectivement les droites a' = o, £' = o, y' = o.
Théorème.
lia. — Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est égal à celui des quatre points homographiques.
Soient en effet a, b 9 c 9 d quatre points en ligne droite dans la première figure, a', V 9 c\ d' les quatre points homographiques (fig. 61). Je prends dans la première figure un point
quelconque o et je le joins aux. quatre points a, 6, c 9 d. Je joins de même le point homographique o'aux quatre points a f 9 b r 9 c\ d'. Je rapporte la première figure au triangle aob 9 la seconde au triangle correspondant ûW. Le rapport Fig. 6i. anharmonique des points dans chaque
figure égale celui des faisceaux. Or les droites oc 9 od ont respectivement pour équations
<* — £p = 0, a— ft t p3s0,
et le rapport anharmonique du faisceau partant de o est - .
— D'un autre côté, les droites oe 9 où! sont représentées par les équations :
art — top' = 0, wt — kffl = 0, obtenues au moyen des formules de transformation (5). Le rap-
port anharmonique du faisceau partant de o' est donc aussi j- , ce qui démontre le théorème.
Corollaire. — Le rapport anharmonique de quatre droites partant d'un même point est le mime que celui des quatre droites homographiques.
En effet, si on mène deux sécantes homographiques, les points d'intersection avec chacun des faisceaux sont aussi homographiques; leurs rapports anharmoniques, et par conséquent ceux des quatre droites sont égaux.
Ainsi les propriétés métriques de la première figure qui s'expriment par des relations entre des rapports homographiques subsistent dans la seconde figure.
115.— - Les formules de transformation (1) ou (2) renferment huit constantes arbitraires. Il en résulte qu'à quatre points ou à quatre droites, pris à volonté dans l'une des figures, on peut faire correspondre quatre points ou quatre droites pris à volonté dans la seconde figure. Soient a, b 9 c, d quatre points donnés de la première figure, a\ 6', c', d! les quatre points homologues de la seconde; si l'on rapporte les deux figures respectivement aux deux triangles abc, a'b'c', on effectuera la transformation à l'aide des formules
JL-JL-L aa!~ 6?'~y' #
On déterminera ensuite les deux constantes a et b de manière à faire correspondre au point d le point d'.
De même si l'on donne quatre droites dans l'une et l'autre figure, on rapportera chaque figure aux triangles formés par les trois premières droites, puis on déterminera les deux constantes a et b de manière à faire correspondre les quatrièmes droites.
HOMOGRAPHIE. 117
Théorème.
116. — A une conique et à une droite données dans la première figure on peut faire correspondre une conique et une droite données dans la seconde figure.
Si Ton rapporte chaque figure au triangle formé par la droite
donnée ab ou a'b' et les tangentes
aux deux points où cette droite coupe
£ y\ la conique (fig. 62), les deux coni-
yy ques seront représentées par les
équations
Kg. 62.
En transformant la première à l'aide des formules
on obtient la conique
±JL ï
*-âi'— ••
qui coïncidera avec la seconde conique donnée, à l'on pose
Il reste encore un paramètre arbitraire a ou 6, dont on pourra disposer de manière à faire correspondre à un point m de la première conique un point m' pris à volonté sur la seconde, ou à une tangente une tangente donnée.
