POINTS ET DROITES DOUBLES

117. — Cherchons s'il existe dans le plan des points qui se correspondent à eux-mêmes dans la transformation homographique. Pour qu'un poînt coïncide avec son homologue, il faut que ses coordonnées vérifient les relations

ax-\*by-\-cz a^-f- b$ + c t z a % x + b^y -J- c t z '

que Ton déduit des formules (1), en y remplaçant

xf y y\ z* par x 9 y, z.

On a ainsi deux équations

y [a 2 x + b t y -f c^z) =sr a x x + b x y + c ± z ,

qui représentent des hyperboles ayant chacune une asymptote parallèle à la droite a t x + 6 2 y + c t z a= o ; ces deux hyperboles se coupent en trois points» Il y a donc dans le plan trois points doubles, c'est-à-dire trois points qui se correspondent à euxmêmes.

Soient a, 6, c ces trois points (fig. 63). Les trois côtés du

triangle aba sont aussi des droites doubles, c'est-à-dire des droites qui se correspondent à elles-mêmes. Mais il faut remarquer que, sur une droite double ab il n'y a que deux points doubles a et b ; à tout point m, w* «3. différant de a et 5, correspond un autre

point m' de la même droite.

On pourra ainsi rapporter les deux figures au même triangle, tout en se servant des formules (3).

HOMOGRAPHIE. 119

USAGES DE L'HOMOGRAPHIE.

118* — L'homographie permet d'étendre à une classe de figures une propriété démontrée seulement pour des figures particulières de cette classe. Il y a en effet dans la transformation homographique générale huit paramètres arbitraires; quand à un point ou à une droite d'une première figure on fait correspondre un point ou une droite donné de la seconde, on détermine deux de ces paramètres; on pourra donc toujours faire correspondre quatre points ou quatre droites arbitraires de la seconde figure à quatre points ou à quatre droites données de la première figure, et par conséquent généraliser ainsi le théorème démontré sur la première figure. Le cercle devenant une co-? nique, toute propriété descriptive du cercle donnera naissance à une propriété des coniques. Les relations métriques, sus<< ceptibles d'être exprimées par des rapports anharmoniques, subsitent aussi dans la transformation,

119, — Considérons, par exemple, un hexagone inscrit dans un cercle, et supposons que les côtés opposés A et A' soient parallèles (fig. 64) 9 ainsi que les côtés opposés B et B'. Les arcs

abc> a'b'd étant égaux entre eux, on voit immédiatement que les deux autres côtés G et C sont aussi parallèles. Par l'homographie, le cercle se transforme en une conique, l'hexa* $V--L--^î' ~ gone inscrit dans le cercle en un hexagone Fig. m. inscrit dans la conique ; à l'infini de la pre-

mière figure correspond une droite dans la seconde ; les côtés opposés du premier hexagone étant parallèles, ce qu'on exprime en disant que les points de concours sont à l'infini, on en conclut que les points de concours des côtés opposés du second hexagone sont situés sur une même droite ; on retrouve ainsi le théorème de Pascal.

On obtient le théorème dans toute sa généralité. En effet, considérons un hexagone inscrit dans une conique quelconque, nous pouvons disposer des huit constantes de manière à faire correspondre un cercle à la conique, et l'infini à la droite qui joint les points de concours de deux couples de côtés opposés, ce qui nous ramène à la figure primitive*

120. — - Étant donnés un cercle et un point fixe p dans le plan, il est évident que le lieu du point milieu m des cordes menées par le point p est un cercle décrit sur op comme diamètre (fig. 65). Nous avons ici une relation métrique ; mais cette relation est un

cas particulier de la proportion harmonique ; le point m est le point conjugué harmonique d'un point situé à l'infini par rapport aux deux points c et d. La transformation homographique généralisera ce théorème : au cercle o correspondra une conique quelconque a'b'c'd!, au point p un point p', et à l'infini une droite T. A la sécante pcd correspondra une sécante p'ctf, et au point m, le point m', conjugué harmonique par rapport à c'd' du point q' où la sécante rencontre la droite I'. Le lieu du point m' est donc une conique, et comme le cercle décrit sur po comme diamètre a quatre points communs avec le cercle o, dont deux à l'infini, et deux sur la polaire du point p par rapport au cercle o, le lieu du point m' passe par les quatre points d'intersection de la conique a'b'c'à! avec la polaire du point p' et la droite I'. De plus le lieu passe par le point p' et a pour tangente en ce point une droite qui rencontre la polaire de p' sur 1'.

Le théorème est général : car à une conique a'b'c'd! et à une droite l' données on peut faire correspondre un cercle et l'infini ; au point donné p' correspondra un certain point p et on sera ramené à la figure primitive. Mous pouvons donc énoncer le théorème suivant.

Fig. 65,

HOMOGRAPHIE. 121

Le lieu du point conjugué harmonique du point àù une sécante mobile passant par un point fixe rencontre une droite fixe, par rapport aux points d'intersection de la sécante avec une conique* est une conique passant par le point fixe* par les quatre points d'intersection de la conique avec la droite fixe et la polaire du point fixe, et ayant pour tangente au point fixe une ligne qui rencontre la polaire de ce point au mime point que la droite fixe.

121. — L'homographie, considérée comme méthode géométrique, présente de graves inconvénients. Quand les coefficients contenus dans les formules de transformation sont réels, à un point et à une droite réels correspondent un point et une droite réels. Un cercle réel se transforme en une conique réelle ; à une droite coupant le cercle en deux points réels correspond une droite coupant la conique en deux points réels et de même à une droite ne rencontrant pas le cercle correspond une droite ne rencontrant pas la conique. La propriété de l'hexagone inscrit est visible sur un cercle réel ; mais la droite infini sur laquelle sont situés les points de concours des côtés parallèles ne rencontre pas le cercle ; la droite sur laquelle sont situés les points de concours des côtés de l'hexagone inscrit ne rencontrera pas non plus la conique, et le théorème ne sera pas démontré dans toute sa généralité.

On peut faire disparaître cette restriction, et perfectionner la méthode, en établissant une nouvelle géométrie, dans laquelle les raisonnnements portent, non plus sur des figures réelles et visibles, mais sur des figures symboliques composées de points, de droites et de cercles imaginaires. On conserverait dans cette géométrie symbolique les formes de raisonnement que Ton a coutume d'employer dans la géométrie élémentaire. Il faut concevoir aussi que les coefficients des formules de transformation soient quelconques, réels ou imaginaires ; de cette manière, à un point imaginaire pourra correspondre un' point réel, à un cercle imaginaire une conique réelle, et à l'infini une droite réelle coupant la conique.

122 LIVBE II. — GBÀP. I.

Mais, comme rétablissement de cette géométrie symbolique nous entraînerait dans de longs détails, nous nous bornerons à considérer la transformation homographique comme une méthode d'invention féconde, sauf à démontrer ensuite par l'analyse les

théorèmes obtenus de la sorte,

Théorème.

Fig. 66.

122. — Lorsque deux côtés d'un triangle inscrit dans une conique pivotent autour de deux points fixes, le troisième côté enve» loppe une conique ayant un double contact , réel ou imaginaire , avec la première suivant la droite qui joint les points fixes.

Soient deux coniques S et S' doublement tangentes, et considérons le pôle p de leur corde commune P (fig. 66). Si cette

corde s'éloigne à l'infini, le pôle commun p converge vers les centres respectifs de ces coniques, qui deviennent ainsi homothétiques et concentriques.

On peut donc considérer deux coniques homothétiques et concentriques comme étant doublement tangentes à l'infini. En particulier, deux cercles, étant toujours homothétiques, ont un double contact à l'infini quand ils sont concentriques. Gela posé, le théorème est facile à démontrer; en effet, je fais

h correspondre un cercle à la conique donnée, et l'infini à la droite qui joint les deux points fixes p et ç. Alors j'aurai inscrit dans un cercle un triangle abc (fig. 67), dont deux côtés ab 9 ac se meuvent parallèlement à des droites données. Le troisième côté du triangle 6c, ayant une longueur constante, enveloppe un cercle concentrique au premier.

On peut obtenir à chaque instant le point Fig. «7. de contact de la conique avec la droite 6V.

HOMOGRAPHIE. 128

En effet, dans le cercle, le point de contact est donné par l'intersection des diagonales ah, bc du parallélogramme construit sur ab , ae ; par conséquent , en joignant b'q, c'p et menant la droite a'i qui passe par leur intersection, on aura le point de contact à la rencontre de cette droite avec 6 V.

Ce théorème peut être généralisé ; mais nous ne revenons pas sur les théorèmes remarquables auxquels il conduit (voir n" 1 04 et suivants)*

Théorème

123. — Par un point fixe, on mène deux droites conjuguées dans une même conique, l'enveloppe de la droite qui joint leurs extrémités est une conique doublement tangente à la première, suivant la polaire du point fixe par rapport à la conique. Ce théorème résulte immédiatement du suivant : Dans un cercle, on mène deux diamètres rectangulaires; fenveïoppe de la droite qui joint leurs extrémités est un cercle concentrique au premier (fig. 68), Au cercle S et au point o, on peut faire correspondre une

conique S' et un point o r quelconques* Si oa et ob sont des droites conjuguées, o'a' et o'b' le seront aussi. Donc l'enveloppe de a'b* sera une conique doublement tangente à la première, et * comme le double contact des cercles concentriques est à l'infini sur la polaire du point o, celui des deux coniques sera sur la polaire du point o'.

On voit encore que le point c' décrit une co- Fig. es. nique doublement tangente aux deux premières suivant la même droite.

De plus, le contact de la droite a'b' avec son enveloppe est au point de rencontre de cette droite avec o'c'.

Théorème.

124. — Les intersections (Tune sécante avec une série de coniques passant par quatre points donnés forment un système en involution.

Cela résulte du théorème analogue démontré pour le cercle : Les intersections d f une sécante avec une série de circonférences passant par deux points fixes forment un système en involution.

Il est facile de transformer ainsi le théorème, en remarquant qu'à une conique passant par quatre points , on peut faire correspondre un cercle passant par les quatre points correspondants. Si on prend l'infini pour droite correspondante de la droite joignant deu* des points donnés, toutes les coniques homographiques deviennent homothétiques (liv. II). En prenant pour conique correspondante à l'une des proposées un cercle , toutes les autres deviennent aussi des cercles , et ils passent par deux points fixes.

Ces exemples suffisent pour faire bien comprendre l'emploi de l'homographie.