A deux points pris à volonté dans la première figure

on peut faire correspondre deux points pris à volonté dans la seconde.

En effet, soient a, a r 6, V les points donnés dans les deux figures (fig. 70). La droite a a' se correspond à elle-même; donc elle passe par le centre d'homologie.

On peut en dire autant de la droite W; par conséquent, le centre d'homologie est le point de rencontre de ces deux droites. Cela posé* il est évident que l'intersection h des droites ab % a'b 1 est sur l'axe

Fig. 70.

de i/homologie. 127

d'homologie. Maintenant on pourra prendre pour axe d'homologie une droite quelconque passant par le point ft. Donc à deux points quelconques, on peut faire correspondre deux points quelconques.

Remarques, à trois points arbitraires on ne peut pas, en général, faire correspondre trois points arbitraires, car si c est un troisième point de la première figure, le point qui lui correspondra dans la seconde sera toujours situé sur la droite oc, quel que soit Taxe d'homologie. On peut d'ailleurs l'y prendre à volonté. Dans ce cas, trois points de la seconde figure correspondent à trois points de la première, et le centre et Taxe d'homologie sont déterminés : on voit en effet que les droites bc , b'c r déterminent par leur intersection un second point de Taxe.

On peut encore remarquer que les triangles abc, a'b'c' ont leurs sommets sur trois droites issues d'un même point, ce qui fournit un théorème de géométrie élémentaire : Quand deux triangles sont tels que les droites qui joignent leurs sommets ftomologues sont concourantes, les intersections des côtés homologues sont en ligne droite.

Théorème II.

128. — A deux droites prises à volonté dans la première figure^ on peut faire correspondre deux droites prises à volonté dans la deuxième.

Soient A et B deux droites de la première figure, A' et B'

deux droites de la seconde (fig. 71).

Les droites A et A', B et B' se rencontrent aux points h et l; la droite Kl est Taxe d'homologie. Au point a d'intersection des droites A et B correspond d'ailleurs le point a 1 d'intersection des droites A' et B' ; Flg# 7 * * donc la droite aal passe par le centre

128 UYK U. — CHAT. IL

d'homologie. On pourra prendre i volonté le centre d'homologie sur cette droite. Ainsi i deux droites quelconques prises dans Fane des figures on peut faire correspondre deux droites quelconques prises dans l'autre.

Remarque. A trois droites arbitraires, on ne peut en général faire correspondre trois droites arbitraires. Ayant fait correspondre les droites A r et B r aux droites A et B, je ne puis faire correspondre à une droite G quelconque une droite C\ à moins que ces deux droites ne se coupent sur l'axe d'homologie. En supposant que cela sût lieu, on voit que le centre d'homologie est déterminé.

La manière dont ce point est déterminé fournit encore un théorème de géométrie élémentaire, qui n'est autre que la réciproque du théorème précédent

Théorème m.

129. — Les rapports des distances de deux points homologues à l'axe d'homologie et à une droite double sont proportionnels. Soient m, m' deux points homologues, o et ab le centre et

Taxe d'homologie (fig. 72). Les formules de transformation sont

* - i — JL

Fig. 7Î.

Or la droite aro' correspond à la droite aro, dont l'équation est

k étant le rapport des perpendiculaires abaissées du point m sur oa et ab. De même /c' dans l'équation de la droite ami

DE LHOMOLOGIE.

représente le rapport des perpendiculaires abaissées de m' sur les mêmes droites. Gomme on a

on voit que

U = ke,

ce qui démontre le théorème.

Théorème IV.

130. — Deux coniques données arbitrairement dans le plan sont horiïologiques de douze manières différentes.

Soient S et S r deux coniques quelconques; je les rapporte à

deux tangentes A et B et à Tune quelconque des deux sécantes communes ab et cd, qui vont concourir au point de rencontre des droites de contact pq, pV (fig. 7 3).

Les deux coniques ont pour équations

(i) «p — (aa + *p + CY)* = o, (a) «p— (a'a + i'p + c' T ) f =:o.

Fi*. 73. Les sécantes communes ah et ed sont

représentées par les équations

a* + b$+ci = ±(a'*+b'$ + <fi).

Pour que Tune d'elles coïncide avec la droite y = o , il faut que Ton ait a = a\ b = V. Les équations des coniques deviennent ainsi

«p — (a* + *p + nY = o,

ap — (a* + *P + c'nf)* =? o ;

ISO LIYB* \h w CHAP, H.

et on pwm «te l'im 4 l'autre à j'^e 40e frrpmte&

P' cY

Donc les deux coniques sont homologiques ; le point de rencontre o de deux tangentes communes A et B est le centre d'homologie; Tune des sécantes communes ab et cd est Taxe d'homologie.

Les quatre tangentes communes se coupent deux à deux en six points; à chacun d'gux çQjrgspofljJjent deux' axes d'homologie. On peut donc établir de douze manières différentes l'hoftjplogie des deux coniques.

131. — Corollaire L Si Ton mine une sécante par te point o, elle coupe les $eux coniques en quatre points m, m r et m t , m' f qui sont homologiques deux à deux.

Les tangentes en ces points sont des droites homologiques, car elles sç coupent sur Taxe.

La correspondance qui existe entre ces points n'est pas arbitraire, comme on le voit facilement ; elle est déterminée par la condition que la sécante venant à tourner autour du point o, deux points correspondants viennent se confondre simultanément avec les points doubles a, 6 de l'axe.

Corollaire IL — Deux coniques tangentes l'une à l'autre sont homologiques, et leur point de contact est le centre d'homologie.