LIVRE II

GHAP. II.

pondent, pour des positions quelconques des deux figures : dans le cas actuel, I et J' étant parallèles, leur point d'intersection à l'infini est un point double , donc oc parallèle à I et J' est une troisième droite double passant en o. Dès lors, une droite quelconque passant en o est double ; car, jointe aux trois premières droites, elle forme, dans la première figure, un faisceau; le faisceau correspondant de la seconde figure a même sommet que le premier, trois droites communes avec lui, il doit avoir même rapport anharmoriique ; donc les quatrièmes droites coïncident. 11 s'ensuit que les droites qui joignent deux points correspondants passent par le point o.

2° Soient afr, aV deux droites correspondantes ; il est facile de

voir que leur point d'intersection a est un point double. La droite o* est coupée par I et J' aux points e et <p\ Les deux e systèmes de points o, cp', a, co et o, co, a, e ont même rapport anbarmonique , puisque ces points se correspondent deux à deux; donc

0<p co (p o co e co

OOL OO»

OU Of = ea ,

d'où Ton conclura aisément que le point a est sur une parallèle aux droites I et J'. Les deux figures ayant un point double isolé o et une infinité d'autres a en ligne droite sont homologiques. 134. Concordance de ïhomologie et de la perspective. — Supposons que deux figures S et S â , situées dans les plans P et P t , soient l'une la perspective de l'autre, l'oeil étant placé au point o. Un rayon quelconque mené du point o détermine deux points homologues a et a x ; il est évident que deux droites homologues se coupent sur la droite d'inter- Fig. 78. section A des deux plans P et P r Du point o

menons une perpendiculaire au plan bissecteur de l'angle dièdre

de l'homologie. 133

formé par les plans P et P, ; cette perpendiculaire déterminera sur les plans les points homologues c et c t . Faisons maintenant tourner le plan P 4 autour de la droite A, pour l'appliquer sur le plan P ; le point c, vient en c ; la droite c^ tournant autour du point a, où elle rencontre la droite A, s'applique sur la droite ai, et le point a vient en a' sur cette droite ac, à une distance <xa' égale à <xa t . Après le rabattement» les points homologues a et a' sont donc situés sur des rayons partant du point c ; d'ailleurs les droites homologues se coupent encore sur la droite A ; on en conclut que les deux figures sont homologiques l'une de l'autre; le point c est le centre, la droite A l'axe d'homologie.

Réciproquement considérons deux figures homologiques S et S', situées dans le plan P, c étant le centre et A l'axe d'homologie, faisons tourner d'un angle arbitraire autour de la droite A le plan de la seconde figure pour l'amener en P 4 ; le point c vient en c t ; la droite ca! tourne autour du point a où elle coupe la droite A et s'applique sur la droite ac l ; le point a' vient en a t sur cette droite ac x à une distance aa t égale à a 4 a. Nous supposerons l'œil placé au point o où la droite a,a rencontre c t c. Si Ton construit dans le plan P t la perspective S t de la figure S située dans le plan P, et que l'on fasse tourner ensuite le plan P 4 autour de la droite A pour le ramener sur le plan P, d'après ce qui précède, la figure Sj coïncidera avec S'. Ainsi deux figures homologiques sont d'une infinité de manières perspectives l'une de l'autre (*).

(*) L'homologie a été imaginée par M. Poncelet et employée par lai dans son Traité des propriétés projeciives des figures (18Î2) comme méthode fécoDde d'inyention. L'étude de la transformation homographique a été faite pour la première fois par M. Chasles dans un mémoire sur deux principes généraux de la science : la dualité et l'homographie, qu'il présenta en 1830 à l'Académie de Bruxelles et qui fat imprimé en 1837 dans s«n ouvrage célèbre : Aperçu historique sur V origine et le développement des méthodes en Géométrie,