CORRÉLATION DES FIGURES
et par conséquent la classe de la courbe S est égale au degré de la courbe S'.
138. — Supposons que Ton rapporte la première figure à un triangle quelconque et la seconde au triangle corrélatif. Appelons <x, p, «y les coordonnées rectilignes d'un point quelconque a de la première figure, p\ q\ r' les coordonnées tangentielles dé la droite correspondante A' de la seconde figure ; les formules de corrélation se réduiront à la forme simple
JL-JL-t.
a/f ~ bq' ~ r' '
car, aux côtés a=o,(î=o,7=:o du premier triangle, doivent correspondre les sommets p r = o , q' = o , r* = o du second.
Théorème I.
139. — A quatre droites prises à volonté dans Tune des figures, on peut faire correspondre quatre points pris à volonté dans f autre figure.
Rapportons la première figure au triangle formé par trois droites données a= o, fi=o , y = o. La quatrième droite A aura pour équation p t a + qfi + f ,Y = o. Rapportons de même la seconde figure au triangle qui a pour sommets les trois points correspondants p'=o, q'=o, r'=o. Le quatrième point o' aura pour équation en coordonnées tangentielles p r a' t + 9'P'i +
fY t = o.
On prendra les formules de corrélation
JL-L-1
ap' ~ bq' r' '
et l'on déterminera les deux constantes a et b par les relations
?h — b Jb — H
*t F. ~ ii '
ttvflÈ ii. — ctiÀp; îit.
Théorème II.
140*— ' A une conique et une droit* prises à volonté dans Tune M$ figures , on peut faire correspondre une conique et un point pria à volonté dans t autre* Prenons pour axes dans la première figure la droite donnée 06
et les tangentes aux points où elle coupe la conique S.
A ces trois droites faisons correspondre trois points* dont l'un est le point donné r', et les deux autres les points de contact p' et q' des tangentes menées de ce Plg * 77 ' point à la conique S' (fig. 77).
L'équation de la conique S est
celle de la conique S', en coordonnées tangentielles
p'q' jér'* ta 0.
À là efcffiiqué S fcortèôpofod, d'après les foilntileS
la conique (31
ap' bq' r' '
pq < r r= 0.
ab
Cette conique coïncidera avec la conique S', si l'on fait
û6 = F L'un des deux coefficients a et 6 reste arbitraire. On peut en
CORRÉLATION DES FIGUfcES. 13Ô
disposer de manière à faire correspondre à un point de la première conique, une tangente de la seconde ou réciproquement.
Théorème III,
ihi. — Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite dans Tune des figures est égal au rapport anharmonique des quatre droites correspondantes de Vautre figure.
Considérons dans la première figure quatre points a, 6, c, d
situés sur une droite E. A ces quatre points correspondent dans la seconde figure quatre droites kf 9 B\ C\ D' passant par un même point e r . Joignons un point arbitraire f aux points a, 6, c, â. Au v faisceau des quatre droites /a, /&, fc y fd correspondent dans la seconde figure les points a\ &'* c\ d\ où la droite F' coupe les droites A\ B\ G', D'. Nous rapporterons la première figure au triangle fab y la seconde au triangle e'a'b'.
Les équations des droites du premier faisceau sont :
(oa) a == o ; (oc) a — - mp = cf, (ob) p = o, (od) a — np=o.
Fig. 78.
Le rapport anharmonique de ce faisceau est — . D'après les formules de corrélation
ap' bq' r'
lès quatre points correspondants a\ 6', </, d' ont pour équations
440 livre ii. — cïup. m.
en coordonnées tangentielles
et par suite le rapport anharmonique de ces quatre points est
. m aussi — .
Problème 1,
142. — Trouver le lieu des points de la première figure tels que les droites corrélatives passent par ces points , ainsi que f enveloppe de ces droites.
Cherchons d'abord le lieu du point a par lequel passe sa droite corrélative A'. La droite A' devant passer par le point a, on a la relation
//x-f qfy-\-r'z=ro.
Si Ton remplace dans cette équation p\ q' 9 r' par les quantités proportionnelles (i) , on a l'équation
(5) (ax + by + cz)x + (a t x -f b# + c 4 z)y + («^ + b t y -f c*)z = o.
Ainsi, le lieu du point a est une conique S.
Si dans la même relation on remplace *, y, % par les quantités proportionnelles (2) , on a l'équation
(6) (<*>' + 6V + c'r')p' + (a\p> + b'rf + Wq*
qui représente en coordonnées tangentielles la conique S', enveloppe de la droite À'.
143. — Remarque. Cherchons de même le lieu du point a de la seconde figure, par lequel passe sa droite corrélative A.
CORBÉLÀTION D£S FIGURES. l&i
La droite A passant par le point a', on a la relation
pd + 9}/ + rz ' = °-
En remplaçant p, q 9 r par les quantités proportionnelles (3), on obtient le lieu du point a\
(?) (*x'+a i y'+ay+(bx'+b t} /+b t ) } /+ (ex' +€#'+€>) = o.
En remplaçant au contraire x\ y\ z f par les quantités proportionnelles (4), on a l'enveloppe de la droite A :
Les équations (7) et (8) étant les mêmes que les équations (5)
et (6) , on en conclut que le lieu du point a 1 est le même que
celui du point a, et l'enveloppe de la droite A la même que celle de la droite A'.
ïhh. — A un même point a considéré comme appartenant à lune ou à l'autre figure, correspondent deux droites différentes. Si le point a décrit une même conique dans l'une ou l'autre figure, les droites correspondantes envelopperont, en général, deux coniques différentes. Nous avons vu que le lieu du point par lequel passe la droite correspondante est le même dans les deux figures , ainsi que l'enveloppe de la droite qui passe par le point correspondant Les deux coniques S et S' ainsi obtenues jouissent de cette propriété remarquable que chacune admet l'autre pour corrélative dans l'une et l'autre figure; c'est pourquoi on les appelle coniques doubles. A un point situé sur la conique S correspondent les deux tangentes menées de ce point à la conique S' ; de même à une tangente à la conique S' correspondent les deux points où cette tangente coupe la conique S.
Il est facile de voir que les deux coniques doubles S et S' sont doublement tangentes.
En effet , soit a un point commun à ces deux coniques. A ce
442 tivp p. — cgi?, ni.
point correspond la tangente A' à la conique §' df ns J'une pt
l'autre figure ; mais, en vertu de la réciprocité, au point a de la conique S' correspond la tangente en a à la conique S ; donc ces deux coniques ont même tangepte en a. Si 6 est un second point commun , elles ont aussi même tangente B' en 6.
Fig. 79. Les deux points de contact a et & sont
des points doubles ; car à chacun d'eux correspond la mêpie droite M et B' dans les deux figures. Le point de rencontre p des deux tangentes À' et B' est aussi un point double ; car à ce point correspond la droite double ab.
145. — Pour qu'à chaque point corresponde une même droite daps les deux figures; il faut, d'après les formules (i) et (5), que l'on ait
a t s= b, a 2 = Cy b t = c i 9 et % = c.
Le formule (i) montre que, dans ce cas, la droite A' est la polaire du point par rapport à la conique.
ox* + ^y' -f" cj? -\- %bxy -\- acxz + MU* = <*•
On retombe ainsi sur la méthode des polaires réciproques. Les deux coniques corrélatives doubles S et S' coïncident avec la conique précédente (*).
I*) Tout ce chapitre est emprunté à Y Aperçu historique de M. Chastes. J^a corrélation des figures constitue le principe de dualité.
