LIVRE III

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CHAPITP |,

Z*novvtét4m générale* de* ooprHB* s)lmé*9l<iup*<

146. — Nombre des points nécessaires à la détermination (tune courbe de degré m. — Considérons une équation algébrique et entière du degré m entre x et y ; cette équation renferme un terme constant, deux du premier degré, trois du second... et enfin m+i du m e degré; de sorte que le nombre total des terro^ eçt

Le nombre des paramètres arbitraires, et par conséquent le

nombre des points nécessaires à la détermination de la courbe

est donc

ou plus simplement

144 livre ni. — CHAP. I.

Par exemple, il faut neuf points pour définir une courbe du troisième degré, quatorze pour définir une courbe du quatrième degré.

Remarque. — Si parmi ces points, il y en a mp -f 1 sur une courbe de degré p, le lieu se décompose en deux, l'un du degré p, l'autre du degré m — p; car, la courbe du degré p rencontrant la ligne du degré m en plus de mp points, fait nécessairement partie du lieu, qui se compose ainsi de cette courbe du degré p et par suite d'une autre courbe du degré m — p.

Par exemple, une courbe du troisième degré est définie par neuf points ; si parmi ces neufs points il y en a quatre en ligne droite, le lieu se compose de cette ligne droite et de la conique définie par les cinq autres points. De même encore, si sept points d'une courbe du troisième degré sont sur une même conique, le lieu se compose de cette conique et de la droite passant par les deux autres points.

Théorème I*

447. Si parmi les — - — i-^- pointé qui définissent une ligne du

degré m, il y en a mp — ~ — + 1 sur une courbe du

degré p, ta ligne se décompose en deux* l'une du degré p, et l'autre de degré m — p.

En effet, les autres points sont au nombre de

OU

ils définissent donc une courbe du degré m — p, et cette courbe jointe à la ligne de degré p forme le lieu du degré m.

D . ., m(m+3) . . ., .. (p— l)(p— 2) , Si parmi les — — ■ — -points il y en avait rop — ^- — --|-a,

a étant plus grand que i , situés sur une courbe du degré p, le lieu ne serait pas déterminé, il se composerait de la courbe du degré p et de Tune quelconque des courbes du degré m — p

passant par les ^ £'-* r ; — a -f 1 points restants.

Quand p est égal à 1 ou à 2, le théorème rentre dans la remarque faite précédemment.

Théorème II.