Toutes les courbes du degré m qui passent par
m(ni4-3) . , . . . (m — j)(m — 2)
— — — - — 1 points donnés passent par - — '- autres
points fixes.
En effet, soient S = et S' = o les équations de deux courbes
du degré m passant par- ' — 1 points donnés; Téqua-
tion
S+/vS'=o,
dans laquelle le paramètre k est arbitraire, représentera toutes les courbes du degré m passant par les points donnés; car on peut déterminer le paramètre k de manière que la courbe passe par un autre point pris à volonté. Toutes ces courbes passent par les m* points d'intersection des deux courbes S et S', et par conséquent par
autres points fixes.
Ainsi toutes les courbes du troisième degré qui passent par
1A6 LIVRE ItL — CHAP. I.
huit points donnés, passent par un neuvième point fixe; toutes les courbes du quatrième degré qui passent par treize points donnés, passent par trois autres points fixes, etc.
Remarque. Deux courbes du degré m se coupent en m* points ; quand m surpasse deux, orç ne peut pas considérer nf points pris à volonté comme étant les points d'intersection de
deux courbes du degré m ; car on a alors m* > — - — ^— -; on en
peut prendre w t m+ J — t à volonté; tes ftirtre$ Pfl résfjHert,
d'après le théorème précédent.
Théorème BŒ.
149. — Si parmi les m* poires d'intersection de deux courbes du degré m, il y en a mp sur une courbe du degré p, les m(m— p) autres sont situés sur une courbe du degré m — p.
En effet, parmi las m{m—p) points restants prenons-en
v ro— -f)\m>— p-t- ) ^ ^terminent une courbe du degré m— p.
L'ensemble de cette courbe et de la courbe du degré p forme une ligne du degré m qui passe par
mp
•+■ ' ' " ' ' " i ■ i i i» ■ i JT~ . i , ■ ; I, m^+ 1 —4— ,% . i
points communs aux deux courbes de degré m. Cette ligne a
ainsi au moins — — = — '- — i points communs avec les deux
courbes proposées ; donc elle passe par tous leurs points communs, et par conséquent la courbe du degré m — p passe parles autres points communs qui sont au nombre de m (m — p).
Théorème ÏV.
150. — Un polygone de 2m côtés étant inscrit dans une conique, les m (m — 2) points que Y on obtient en prenant V intersection d'un côti quelconque (tordre pair avec les côtés non adjacents (Tordre impair sont situés sur une courbe de degré m — 2.
Ce théorème est une conséquence du théorème précédent. Les côtés d'ordre pair forment un premier polygone de m côtés; les côtés d'ordre impair un second polygone de m côtés ; parmi les m* points d'intersection de ces deux lignes du degré m, il y a 2m points, c'est-à-dire les sommets du polygone proposé, qui sont situés sur une courbe du second degré; donc les m(m — 2) autres points d'intersection sont situés sur une courbe du degré m — 2.
Le théorème de Pascal est un cas particulier de cette proposition : un hexagone étant inscrit dans une conique, si l'on prend Vintersection de chaque côti avec le cuti opposé, on a trois points en ligne droite.
De même un octogone étant inscrit dans une conique, si Ton prend l'intersection de chaque côté d'ordre pair avec les deux côtés non adjacents d'ordre impair, on a huit points situés sur une courbe du second degré.
DE QUELQUES FORMES DE L'ÉQUATION D'UNE COURBE DU DEGRÉ m.
151. — L'équation générale des courbes du degré m peut se mettre sous la forme
a et p étant deux polynômes linéaires , h un paramètre arbitraire, <p et A des polynômes du degré m — 1. Il est facile de
s'assurer que le nombre des paramètres surpasse — ^ \
condition nécessaire pour qu'une courbe donnée de degré m puisse être ramenée à cette forme. En effet, le premier membre renferme
(m — i)(m+3)4-5 = m î + m -f-5 paramètres, et l'inégalité
ou
est toujours satisfaite, quel que soit m. Par conséquent l'équation d'une courbe du degré m peut être ramenée à cette forme d'une infinité de manières.
Le point d'intersection des droites représentées par les équations <x= o, (3=0 appartient à la courbe, et la tangente en ce point a pour équation
ç. et <J> d étant la valeur des fonctions* <p et <J> au point (a=o, P=o). En effet, si l'on ordonne l'équation par rapport à a, ,3, en posant
< ? = ?o + < Fi + ?*+
<p t et <J>, étant des polynômes homogènes du premier degré en i et p, <p, et <|/ t des polynômes homogènes du second degré, etc. , l'équation devient
«To + *?*o + ( a ?j + *P*i) + • • • — ° »
et Ton voit que la droite représentée par
est tangente au point (a = o, . p = o) .
152. — Une courbe du degré m peut, dans quelques cas seulement, être représentée aussi par l'équation
«Pï + WPV = <>,
a, p, y, .... a', p\ y étant des facteurs linéaires en x et y, et leur nombre dans chaque terme étant égal à m. Le nombre des constantes que renferme le premier membre est égal à fym + i ;
ce nombre est plus petit que — — ±—L dès que m surpasse 5.
La courbe passe par les m* points d'intersection des droites (a=o, a'=o) (a = o, P'=o), .....
Théorème \.
153. — Théorème. Quand on coupe une courbe du degré m par une droite quelconque et qu'aux m points d'intersection on mène les tangentes à la courbe, les autres points d 9 intersection de ces tangentes avec la courbe sont sur une courbe du degré m — 2.
En effet, soit (ï= o l'équation de la sécante donnée, on peut mettre l'équation de la courbe sous la forme
a lt a t a m étant des fonctions linéaires, et <p une fonction du
degré m — a. Car cette équation renferme, abstraction faite
dep,
(m — 2)(m+i) 4»î4-a + fw a — m— 2 ro(m + 3)
constantes arbitraires. Les droites représentées par a 4 = 0,
a f = o, *« = o sont tangentes à la courbe aux points où
ces droites sont coupées par la droite p=o; les m(m — 2) autres points d'intersection de ces tangentes et de la courbe sont situés sur la courbe y = 0.
154. Corollaire I. — Les m (m — 2) points où une courbe du degré m est coupée par ses m asymptotes sont situés sur une courbe du degré m — 2.
Car si Ton suppose [3 constant, la séuantë s'éloigne à l'infini, et les tangentes deviennent les asymptotes de la courbe*
155. Corollaire IL — Les points d'inflexion d'une courbe du troisième degré sont trois à trois en ligne droite.
En effet, soient A et B deux points d'inflexion de la courbe (fig. 80) , la droite AB rencontre la courbe en un troisième point G.
Les tangentes aux points d'inflexion À
et B doivent être considérées comme
ayant trois points communs avec la
courbe. La tangente en G rencontre la
Flg * 80 ' courbe en un nouveau point situé sur
la droite AB ; ce point coïncide donc avec le point G qui est
aussi un point d'inflexion.
On conclut de là qu'une courbe du troisième degré ne peut avoir plus de trois points d'inflexion réels, et que la droite qui joint deux points d'inflexion imaginaires conjugués passe par un point d'inflexion réel.
