Supposons que l'on transporte l'origine des coordon

nées en un point quelconque M de la courbe ; l'équation de la courbe sera de la forme

"i u t •• w m étant des polynômes homogènes du premier, du second, du ro e degré en x et y< La tangente au point M est donnée par l'équation u { = o. Mais si le polynôme u x est identiquement nul en même temps que w , une sécante quelconque menée par l'origine a en ce point avec la courbe deux points communs qui se confondent, et l'on dit que le point M est un point double* Les tangentes à la courbe en ce point sont représentées par l'équation u t = o, qui se décompose en deux autres du premier degré.

Lorsque les deux racines de l'équation u t = o sont réelles et inégales, par le point M passent deux branches réelles ayant des tangentes distinctes. Lorsque les racines sont imaginaires* deux branches imaginaires se coupent au point M, qui est un point isolé. Quand les deux racines sont égales, le point M peut être un point isolé ou un point de rebroussement

Si l'on a à la fois

le point M est un point triple* Les tangentes en ce point sont représentées par l'équation ti,=o.

En général, si l'on a identiquement

le point M est un point multiple d'ordre k.

Cherchons maintenant à combien de points simples équivaut un point multiple d'un certain ordre. Un point double vaut trois points simples ; car le polynôme u i renferme deux coefficients. Un point triple Vaut six ou 1 -f- a + 3 points simples ; en général

un point multiple d'ordre h vaut

points simples,

Théorème VI.