Une courbe du degré m ne peut avoir plus de

^ ^ — — {. «oîti(5 doubles.

Nous remarquons d'abord qu'une courbe du troisième degré ne peut avoir plus d'un point double ; car si elle en avait deux , la droite qui passe par ces deux points couperait la courbe en quatre points.

De même une courbe du quatrième degré ne peut avoir plus de trois points doubles; car si elle en avait quatre , la conique passant par ces quatre points et un cinquième point pris à volonté sur la courbe couperait la courbe en neuf points.

En général, supposons qu'une courbe du degré m ait n points

doubles ; par ces points et rK — - — n autres points pris à volonté sur la courbe, faisons passer une courbe du degré p;

cette courbe coupera la courbe proposée en ^ — - + »

points, chaque point double comptant pour deux ; il sera impossible que la courbe ait n points doubles, si l'on a

- + n>mp,

d'où

Pour que l'on puisse faire ce raisonnement, il faut que le

nombre entier p inférieur à m soit tel que Ton ait

et par suite

P^ + 5) ^ p{vn— p — 5)

OU

on peut donc attribuer à p les deux valeurs m — 2 et m — 1 ;

d'où Ton conclut que la courbe ne peut avoir plus de

(m — 1) (m— 2I . , ,, ^ L-i points doubles.

Théorème VU.