Une courbe du degré m ne peut avoir plus de

^ — n P % * points multiples d'ordre k, p étant le nombre entier 2 (k — 1)

2m immédiatement supérieur à-r 0.

Supposons qu'une courbe du degré m ait n points multiples

d'ordre k; par ces poinls et y * ' — n autres points pris à

Jm

volonté sur la courbe, faisons passer une courbe du degré p;

cette courbe coupera la courbe proposée en ^ +(& — n

points; il sera donc impossible que la courbe ait n points multiples d'ordre k, si l'on a

PlP±*l + {k l)n>mpt

d'où

,^ P(aw — p — 5) • a(fe-i) *

154 LIVRE JII. — CHAP. I.

Pour que l'on puisse faire ce raisonnement, il faut que le nombre entier p inférieur à m soit tel que l'on ait

et par suite

/>(P + 5) p(am — p — 5) 2 a (A — i)

ou

On attribuera à p la plus petite valeur entière supérieure à

-r 3, et le nombre des points multiples d'ordre H ne pourra

p(2tn — w— S) surpasser ^ x — î-t — £-.

Remarque. Une courbe du degré m qui a un point multiple d'ordre m — i ne peut avoir d'autre point multiple. Car si elle avait un second point multiple la droite qui passe par ces deux points couperait la courbe en plus de m points.

Il résulte des considérations précédentes que si un lieu du troisième dëgi-ê a deux points doiiblés, te lieu Se compose d'une droite et d'une conique.

De même si un lieu du quatrième degré a quatre points doubles; il se compose de deux coniques. Si la droite passait par deux points doubles coupe la tourbe en un autre point, le lieu se compose d'une courbe du troisième degré et d'une droite

Si un lieu du quatrième degré a un point triple et un point double, ce lieu se compose d'une courbe du troisième degré ayant un point double, et d'une droite passant parce point.

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DfcS COURBES ALGÉBRIQUES. 155