Soit

l'équation d'une courbe en coordonnées tangentielles* p^ et q les coordonnées d'une tangente particulière M ; si l'on pose

P^Po + f'y 9 = P*+q'> l'équation prendra la forme

u, étant un polynôme homogène du premier degré en p' et q f § u t un polynôme homogène du second degré, etc* L'équation û t =o donne le point de contact de la tangente M.

Si le polynôme u i est identiquement nul, la droite H est une tangente double ; elle touche la courbe en deux points donnés par l'équation ti, = o qui se décompose en deux équations du premier degré.

Une tangente double vaut trois tangentes simples, comme un point double vaut trois points simples.

L'équation ti s = o qui donne les deux points de contact de la tangente double peut avoir ses racines réelles et inégales, ses racines égales, ou ses racines imaginaires. Dans le premier cas, on a une tangente qui touche la courbe en deux points de contact réels (fig. 81); dans le second, une tangente qui a trois points communs avec la courbe ; le point de contact est alors

Fig. 8i. Fig. 82. Fig. 85.

un point d'inflexion ou un point de rebroussement (fig. 82 et 83) ;

enfin dans le troisième cas, les deux points de contact sont imaginaires ; c'est une tangente isolée. Le lieu se compose de cette droite et d'une autre courbe.

On peut continuer de la même manière pour l'étude des tangentes multiples d'un ordre quelconque.

L'équation (i) en coordonnées rectilignes représente la courbe polaire réciproque par rapport au cercle de rayon 1 .

Ainsi les tangentes multiples de la courbe proposée correspondent aux points multiples de la courbe réciproque.

De là un nouveau moyen d'étudier les tangentes multiples à une courbe donnée, c'est de faire la transformation des points doubles de la courbe polaire réciproque.

On arrive ainsi à des résultats curieux ; à un point simple correspond une tangente simple. A un nœud, une tangente double ordinaire ; à un point de rebroussement de première espèce, une tangente double à un point d'inflexion ; à un point de rebroussement de seconde espèce, une tangente double à un point de même nature. Les points (ïosculation, qui sont doubles, et dont les tangentes sont aussi doubles se retrouvent dans la courbe réciproque.