MULTIPLES

160. — Dne courbe ayant un point double peut être représentée par l'équation

a et p étant des polynômes du premier degré en x et y, ?» <{>, x d es polynômes du degré m — 2.

Le point double est l'intersection des droites a = o et P = 0. Les tangentes en ce point sont données par l'équation

Enfin on peut s'assurer que cette équation est F équation générale des courbes du degré m qui ont un point double ; elle contient en effet

constantes. Et on a toujours

3 (m* — m -f 2) > m(m -|- 5) ; car cette inégalité revient à celle-ci

qui a toujours lieu, quel que soit m.

L'équation générale d'une courbe de degré m, douée d'un point triple, est

(2) a* 8 cp + 6*'(fy + c%$*x + d$*tû = o.

Le point triple est à l'intersection des droites a = o et fi = o. Les tangentes en ce point sont données par l'équation

L'équation (*a) contient

2(m — 5)m -f- 7 = 2Wî * — 601 -j- 7

coefficients. Ce nombre est supérieur à — — î— i quand m est .

plus grand que 3. Toutes les courbes au-dessus du troisième degré, c'est-à-dire celles qui peuvent avoir des points triples, sont donc susceptibles d'être ramenées à cette formule. Quand m = 3 , l'équation représente un système de trois droites passant

158 LIVRE ni. — CHAP. I.

au point d'intersection des droites a = o et [î = o ; on peut donc dire que l'équation convient encore à ce cas.

L'équation générale des courbes de degré m qai ont une tangente double peut s'écrire :

On voit que la droite a = o est doublement tangente à la courbe aux deux point? [t. = o, [i = o) et (a = o, y = o) .

Cette équation renferme un nombre suffisant de constantes pour que l'équation d'une courbe quelconque de degré m puisse y être ramenée. On a, en effet,

(m— i)(ip+a) , (m — 4)(ro— i) , ^ m(m + S) m

car cette inégalité revient à celle-ci,

qui est toujours satisfaite,

161. — L'équation générale des courbes de degré m qui ont un point d'inflexion peut s'écrire

Le point d'inflexion est à l'intersection des droites <x= o, (î=o. La droite a = o est la tangente en ce point.

Cette fortne d'équation rgpferme également un nombre suffisant de constantes. On a, en effet,

car cette inégalité revient à celle-ci,

qui est toujours satisfaits,

Nous ferons remarquer que toutes les formes d'équation que nQps YPSQflS cfe piter ont lieu également en coordonnées tangentielles, et qu elles donnent les tangentes multiples quand les premières donnent les points multiples, et réciproquement.