CHAPITRE II. Ô

Théorie dos points singuliers dans les courbes planes.

162. — Avant d'aller plus loin, nous exposerons une théorie des points singuliers dont ridée première est due à M. Sturm ; elle peut être regardée comme une méthode générale pour la construction exacte et complète des courbes planes.

Considérons une équation algébrique et ramenée à la forme entière

entre les deux variables x et y. La série des points du plan dont les coordonnées vérifient l'équation peut être envisagée comme étant la représentation géométrique des solutions réelles de l'équation.

Soit M l'un de ces points, a? et y ses coordonnées; cherchons quels sont les points voisins du point M qui satisfont à l'équation proposée. Désignons par x -{- A? y + k les coordonnées d'un point voisin, h et k étant des quantités infiniment petites. Si l'on développe le polynôme f(x + ft, y -j- k) suivant les puissances croissantes de h et de k, l'équation deviendra

(*) Ce chapitre est extrait textuellement d'une note de M. Briot placée à la Un du 1 er volume du Calcul infinitésimal de M. Couraot.