Nous allons d'abord examiner le cas général, celui
où les deux données partielles f m et f' v ne sont pas nulles simultanément au point M.
Menons deux parallèles à Taxe des y, à la distance infiniment petite A, de part et d'autre du point M et cherchons Fig. 84. quels sont sur ces deux parallèles les
points qui vérifient l'équation (fig. 84). Pour simplifier posons
L'équation (a) prend la forme
- =w = tangto, — ^-== w = tanga.
(3) u — v + PA + QA* + = o.
Gomme h est une quantité infiniment petite, l'équation ne pourra être satisfaite que par des valeurs de u peu différentes de u , c'est-à-dire par des valeurs de u> peu différentes de a. Par le point M menons la droite À'A, qui fait avec l'axe des x l'angle a ; il est clair que les points cherchés doivent se trouver dans le voisinage des points A et A' où cette droite coupe les deux parallèles. Si l'on donne à u une valeur qui diffère de a d'une quantité supérieure ou égale à l'angle y très-petit, mais déterminé, on pourra trouver une quantité très-petite e, telle que pour toute valeur de h inférieure ou égale à e, le premier terme u — u Q du polynôme (B) ait une valeur numérique plus grande que la somme de tous les autres termes, et par conséquent donne son signe au polynôme.
Considérons la dérivée
i-fP'A + Q'A* +
du polynôme par rapport à u } le premier terme étant constant, ou
162 LIYAB 111, — QHAP. U.
pourra déterminer une quantité très-petits *' telle que, pour les valeurs de t* comprise» entre <* % y et a + Y» toute valeur de h inférieure au égale à ê ronde ee premier terme plus grand numériquement que la somme de tous les autres. Appelons e la plus petite des quantités <t et é et supposons que h soit inférieure ou égale à c. Traçons les deux droites B'B et C'C qui font avec A'A de part et d'autre l'angle y%
Le polynôme (5) ayant sur les deux parallèles une valeur positive m tous les points situés au-dessus du point G ou au-dessous du point G' négative en tous les points situés au-dessous du point B, ou au-dessus du point B', ces quatre portions de droite ne renferment aucune solution de l'équation.
Si l'on imagine qu'un point mobile parcoure la portion de droite BC, le polynôme, ayant en B une valeur négative, en C une valeur positive, et variant d'une manière continue s'annulera dans l'intervalle; d'ailleurs il ne s'annulera qu'une fois puisque la dérivée ne s'annule pas. dans cet intervalle. Ainsi la portion BG comprend une solution de l'équation et une seule. Il en est de même de la portion B'C', Concevons maintenant que h décroisse de. e à o, chaque valeur de h donnera dans chacun des deux angles opposés BMC et B'M'G un point particulier et la série de ces points formera évidemment une courbe continue passant en M.
Comme l'angle a? peut &re pris aussi petit qu'on voudra, U est visible que la, droite A'A qui a pour coefficient angulaire
tangtt = — ^
est tangente à la courbe au point M.
On a supposé dans ce qui précède que la dérivée partielle f y n'est pas nulle; si elle était nulle, sans que f x le fût, on permuterait dans le raisonnement ft et k; on mènerait deux parallèles & Taxe des a? à la distance k du point M et Ton arriverait à la
même conclusion, seulement la tangente aérait parallèle à l'axe dey.
Il résulte de là que lorsque les coordonnées Sun point qui satisfont à t 'équation proposée n'annulent pas à la fois les deux dérivée* partielles du premier mmhre, en ce point passe une branche de courbe simple.
164. — Il est aisé de trouver la forme de la courbe dans le voisinage du point M. Si Ton fait îi=m , le polynôme (3) se réduit à
(4) P«a + QoA 8 4- n-M-
On peut trouver une quantité e" telle que pour toute valeur de h inférieure ou égale à e\ le premier terme du polynôme (4) qui ne s'annule pas, donne son signe au polynôme. Appelons e' là plus petite des quantités e et e" et supposons h moindre que e\- Si le premier terme qui ne s'annule pas dans le polynôme (4) est de rang impair, comme le terme change de signe avec ft, le polynôme aura des signes contraires en A et en A', par exemple le signe — en A et le signe + en A'; les deux points de la courbe seront situés l'\m m entre A et G, l'autre m' entre A' et B'; dans ce cas la courbe est convexe (fig. 84) et tourne ça concavité vers les y positives. Si la série avait le signe + en A et le signe — en A', la courbe serait encore convexe, mais elle tournerait sa concavité vers les y négatives.
Ainsi lorsque la quantité
P „ fi* + *&**+&< h f* 1 ~ fxhfxy + /*/»'
n'est pas nulle, la courbe est convexe au point M, et le signe de P indique le sens de la concavité.
Si le premier tenue qui ne s'annule pas dans le polynôme (4)
'■^ll i m I%|»
164 uvre in. — CHAP. II.
est de rang pair, le premier terme ne changeant pas de signe
avec h, la série a le même signe, par exemple le signe + en A et en A' ; les deux points de la courbe sont situés l'un m entre A et B, l'autre m! entre A' et B'; la courbe passe d'un côté à l'autre de la tangente; il y a inflexion (fig. 85). Ainsi quand P est nulle sans que Q le soit, il y a inflexion.
165. — Nous avons démontré que lorsque les deux dérivées partielles du premier ordre ne sont pas nulles simultanément au point M, en ce point passe une branche de courbe simple, avec ou sans inflexion. Il en résulte que si Ton ne range pas l'inflexion parmi les singularités des courbes, les points singuliers ne peuvent se trouver que parmi ceux dont les coordonnées annulent à la fois les deux dérivées partielles du premier membre de l'équation.
Fig. 85.
166. — Supposons maintenant que les deux dérivées du premier ordre soient nulles simultanément, l'équation se réduit à
(£/S+»fi+7-;/?)+ -
ou
Considérons l'équation du second degré
i tr cas. — f£ — fjpf^ <o. Le premier terme du polynôme ayant constamment une valeur finie et de même signe, l'équation ne peut être vérifiée. Le point M est un point isolé,
a e cas. — f^ — f# fy 7 > o. L'équation (6) a deux racines réelles, tang. a et tang. (î, a<(î; le premier terme et par suite le polynôme (5) changent de signe quand o> varie de a«^ y à a+Y et de p — y * P+Y» ^ n'y a d'ailleurs qu'une seule solution dans chacun de ces intervalles parce que la dérivée par rapport à u
ne s'annule dans aucun d'eux ; il en résulte deux branches simples tangentes respectivement aux droites qui font avec l'axe des x l'angle a ou l'angle p. Le point M est un point multiple.
3° cas. — fê — fx*fv* =o. L'équation (6) a ses deux racines égales à u =tang a, et l'équation (5) se met sous la forme
( w Uo y + Ph + Qh*+ = o.
Si la valeur de P pour u = u n'est pas nulle, on peut donner
à h une valeur assez petite pour que le
second terme soit plus grand que la
a- somme de tous les suivants et par con-
b+ séquent donne son signe à l'expression PA+ Q** + P our l es valeurs de <o voisines de a. Supposons P < o ; le polynôme a le signe — en A, le signe + en B et en G (fig. 86) ; il y a donc une solution m dans Fig. ae. le premier intervalle et une n dans le
second. D'ailleurs, il n'y en a qu'une dans chacun d'eux parce que la dérivée seconde relative à u
ne s'annule pas de B à C. Sur la parallèle de gauche, le polynôme étant la somme de deux quantités positives, ne peut s'annuler; cette parallèle ne renferme donc aucune solution et l'on a un rebroussement de première espèce.
iB6 tIVftE JB.% — €HÀP. IL
Lorsque P = ô, le signe du polynôme en À et en A r est le même que celui de Q ft\ de sorte que si Q est négative chacun des quatre intervalles AB, AG, Â r B', A'C comprend une jahitioû* ce qui donne deux branches de courbe tangente* à k même droite à'A et situées de part et d'autre de la tangefttei Mate si Q est positive, il y a incertitude, l'un des deux intervalles AB ou AG peut contenir deux solutions et de même l'un des deux intervalles A'B' ou A'C.
167. — Pour lever cette ambiguïté, on posera u=u ri +**'*'♦ ce qui réduira l'équation (7) à la suivante
(i^ + F.tf + 'tW+SA-f =0
que Ton traitera conùne l'équation (7).
Si P 8 — 4Q < °> cette équation est impossible, le point M est isolé. Lorsque P«* — 4Q >o, l'équation u' t * -f- P' u'+ Q = o admet deux racines inégales t! et u\ ; si ces deux racines sont de même signe, la courbe se compose de deux branches convexes situées du même doté de la tangente commune; si elles sont de signes contraires, ces deux branches sont situées de part et d* autre de la tangente ; dans ces deux cas, le point M est un point
multiple. Lorsque P' * — 4Q = °> s * S est différent de zéro, l'équation (8) admet pour Tune des parallèles deux solutions voisines de u' , ce qui donne pour u deux valeurs, voisines de w + u' fc; il y a au point M un rebroussement de seconde espèce (fig. 87). Si S =o et qu'il y ait ambiguïté, on poserait
Fig. 87.
«fa^ + A
et on continuerait de cette manière jusqu'à ce que Ton eût déterminé exactement la forme de la courbe.
La discussion précédente qui porte spécialement sur les
termes du second degré ftrit bien comprendre Fesprit de la méthode Nous alto&g maintenant imposer d'une manière géûérade.
168% — L'équation {*) <gt de la forme
les exposants a et (3 étant entiers. Regardons ft comme un infiniment petit du premier ordre, et désignons par p Tordre de Tinfiniment petit i. Considérons le groupe des termes du degré le moins élevé; ce premier groupe doit contenir au moins deux termes tels que
AA a * p , Ajf'kK Ces deux termes étant de même degré, on a
d'où
F=fc'
Il en résulte que le degré de k par rapport à h est commensurable.
169. — Voici comment on parvient à former le premier groupe : dans un plan, traçons deux axes rectangulaires Ox et Oy (fig. 88),
et marquons les points qui ont pour coordonnées les exposants a et p dans les différents termes, a étant Tabcisse, p Fordonnée. À chaque terme correspond un point du plan* Comme le polynôme doit contenir au moins un terme indépendant de h et un indépendant de ft, sans quoi il serait divisible par h ou par fc. il y aura au moins un point sur
Fig. 88.
l'axe des y et un sur Taxe des x. Nous remarquerons d'abord qu'à des termes de même degré correspondent des points placés en ligne droite; et, en effet, la valeur de p. trouvée précédemment montre que la droite qui joint les points correspondants à deux termes de même degré a une direction constante ; cette droite fait avec l'axe des y négatives un angle dont la tangente est égale à |*. Si, par un point quelconque (a,, p s ), on mène une droite parallèle à cette direction constante, cette droite ayant pour équation
* — «,=■ — t* (y — Pi),
son abcisse à l'origine <x s -f- ^P 2 est précisément égale au degré du terme correspondant. Il en résulte que les droites parallèles sur lesquelles sont placés les points qui correspondent aux divers groupes de termes s'éloignent de l'origine à mesure que le degré de ces termes augmente; par conséquent, la ligne qui passe par les points du premier groupe laisse à sa droite tous les autres points.
170. — Que Ton imagine une droite coïncidant d'abord avec l'axe oy et qu'on la fasse tourner autour du premier point situé sur cet axe de droite à gauche ; c'est-à-dire en augmentant son. abscisse à l'origine, jusqu'à ce qu'elle rencontre un second point; qu'on la fasse tourner ensuite autour de ce second point dans le même sens jusqu'à ce qu'elle en rencontre un troisième, et ainsi de suite jusqu'à ce que la droite passe par le premier point situé sur l'axe ox* on formera ainsi une ligne brisée convexe dont chaque côté passe par plusieurs points et laisse tous les autres à sa droite. Chacun des côtés de cette ligne convexe donnera une manière d'établir le premier groupe.
171. — Considérons l'un de ces modes de groupement en particulier et soit - la valeur correspondante* de [*, - étant une fraction irréductible. Deux termes
du premier groupe étant du même degré, on aura
tq + Vp^^q + hp, ou
La différence a t — a des exposants de h est un multiple de p, la différence (3 — (î, des exposants de & un multiple de q ; on aura donc
n étant un nombre entier. Le premier groupe, ordonné par rapport aux puissances croissantes de ft, ou par rapport aux puissances décroissantes de k 9 s'écrira donc
6, c, . . . g étant des nombres entiers croissants.
172. — Nous allons, pour continuer la transformation, distinguer deux cas principaux, selon que le nombre q est pair ou impair. Considérons d'abord le cas où q est impair.
Si l'on pose
h = A'', k =. uh'fi.
h! étant une nouvelle quantité infiniment petite de même signe que h, u une quantité finie, le premier groupe devient
^+V p v?-W[\u gq +Ku {g - b)q + + G].
Tous les termes de l'équation contenant le facteur ft' a 9+Pp, on peut diviser par ce facteur et ramener l'équation à la forme
fio) tt p - w [Air w + B« ,flf ~* : *+ +G] + etc. = o.
170 tlVRE 111. — CHÀ*. II.
Le premier groupe devant avoir une valeur infiniment petite pour se réduire avec les suivantes, la valeur finie de u différera très-peu de l'une des racines de l'équation
(1 1) kv,™ -f B*&-w + -f- G = o.
Si Ton pose
cette équation se réduit au degré f et devient
À0* + Bv*-*+ 4-G=o.
173. — Il faut étudier séparément chacune des racines réelles de cette équation. Soit v une racine simple de l'équation (ia);
l'équation (11) admet la racine simple * «=t> o * * et l'on démontrera, comme précédemment, que> quel que soit te signe 4e h% l'équation (10) admet une racine voisine de w , et une seule, d'où résulte une valeur de k sensiblement égale à w' h'*. À. cette racine simple, correspond une branche de courbe passant au point M et s' étendant à droite et à gauche de ce point.
La forme de la courbe varie suivait que p est pair ou impair, plus grand ou {dus petit que q.
i* p impair. Quand on change le signe de h ou de K 9 h change
lui-même de signe ; il en résulte une branche à inflexion, tangente à une parallèle à l'axe
des x si -> 1 (fig. 89), à une parallèle à
l'axe des y si - < 1 (fig. 90).
Le cas particulier où p = q = 1 rentre dans le précédent. Mais la tangente a une direction oblique et il n'y a plus nécessairement inflexion
(fig. 84 et 85).
Fig. 90.
2* p pair. Quand ft' change de signe, h conserve le môme
Fig. 89.
signe. Si - > 1 , la courbe a la forme convexe ordinaire et est
Fig. <>!.
Fig. 92.
taagenrte à une parallèle à Taxe des x (fig. 91); si - < 1, elle
forme un rebroussement de première espèce, dont la tangente est parallèle à Taxe des y (fig. 92).
174, — Étudions maintenant le cas où g est un nombre pair. On posera
h = ±h!\ k = uh' p , W* = v,
h' étant une quantité infiniment petite, positive ou négative, u une quantité finie que l'on pourra toujours supposer positive, à cause du double signe de h 1 ou de ft' p , puisque p est impair. On affectera la quantité h ,q du signe + ou du signe — , selon que Ton cherchera les points situés sur la parallèle de droite ou sur celle de gauche. Si l'on considère la parallèle de droite, il faudra prendre h = h' q ; la transformation est la même que celle que nous avons effectuée précédemment, et on arrive aux mêmes équations (10), (11), (12).
Si l'on considère la parallèle de gauche, il faudra prendre h = — h fq , les équations (10), (11), (12) sont remplacées par les suivantes :
(11)' Att M +(-
■ ifBu {g ^ )q + .. . + (— ifG) + etc.
if Bu {g ~ l)q +... + (— g G = o.
Nous remarquerons d'abord que les équations (12) et (12)' ont
Fig. 93.
172 UTRE IU. — CHAP. U.
leurs racines égales et de signes contraires. Les valeurs positives de v sont seules admissibles, les valeurs négatives donnant pour t* des valeurs imaginaires. Soit donc v une racine simple positive de Tune de ces deux équations, par exemple de l'équation (12). L'équation (11) admet la racine réelle et positive
w = v 4\ si, dans l'équation (10), on donne successivement à
h' une valeur positive et une valeur négative, on voit que cette équation admet deux racines réelles voisines de w ; il en résulte pour k deux valeurs de signes contraires voisines de u h' p . À cette racine simple v correspond ainsi une double branche de courbe située d'un même côté du point M, à droite dans l'hypothèse actuelle; elle forme une
branche convexe ordinaire, tangente à une parallèle à l'axe des y
si - < 1 (fig. g5) , un rebroussement de première
espèce tangent à une parallèle à Taxe des x si H>i (fig. 9 4).
Considérons maintenant une racine négative de l'équation (12); à cette racine négative ne correspond aucun point sur la parallèle de droite ; mais cette racine devient positive dans 1" équation ( 1 2) ', et elle fournit l'une des courbes trouvées précédemment, mais tournée en sens contraire, c'est-à-dire vers la gauche.
175. — Nous avons supposé jusqu'à présent que l'équation (12) n'admet que des racines réelles simples. Chacune d'elles donne une branche simple passant par un point M et pouvant offrir une inflexion ou un rebroussement de première espèce. Considérons actuellement une racine réelle t? d d'un degré n de multiplicité. Le premier membre de l'équation (12) ou (12)' est divisible par (v — t\>) w , le premier membre de l'équation (1 1) ou (n)' par (u — w„) n . Si l'on pose
f étant une quantité infiniment petite, et que l'on remplace u par cette valeur, l'équation (10) ou (10)' aura tous ses termes infiniment petits et prendra la forme
On traitera cette équation comme on a trûté l'équation (9). Marquant dans un plan les points qui ont pour exposants les coordonnées de h' et de #, on examinera les différentes manières de former le groupe des termes du degré le moins élevé. Chacun de ces modes conduira à une équation analogue à l'équation (12), après qu'on aura posé h t =i±h tfq \ k' = tfft" pf , u' q ' = v'. Les racines simples de cette nouvelle équation n'offriront aucune difficulté. A une racine simple correspond une valeur de k! de la forme Wo'A" 1 ", et par suite une valeur de k sensiblement égale à {Uo + u'X^h*.
Si q et q' sont impairs, h' et h" ont le signe de k et l'on a une branche de courbe qui s'étend à droite et à gauche du point M, et qui reproduit l'une des formes représentées par les fig. 89, 90,91,92.
Si q est pair, q' impair, il faut choisir le signe de ft, ce qui indique que la courbe ne s'étend que d'un côté, h! conserve le double signe, h" a le même signe que ft'; on a donc pour k, sur une même parallèle, deux valeurs de signes contraires, ce qui reproduit l'une des deux formes représentées par les fig. 93 et 94,
Si q est impair, q' pair, ft' a le signe de ft, et h" un double signe ; mais dans la nouvelle équation il faudra choisir le signe de h\ ce qui indique que la courbe ne s'étend que d'un seul côté; t" conservant le double signe, et p' étant impair, on a pour ft, sur une même parallèle, deux valeurs du même signe, ce qui donne un rebroussement de seconde espèce, dont la tangente est parallèle à l'axe des a? ou à l'axe des y, selon que -
est plus grand ou plus petit que l'unité (fig. 96 et 96). Cepen-*
dant, dans le cas où p = q = 1 , le rebrousseaient est de première espèce, la tangente ayant une direction oblique (fig. 86).
Enfin, si q et q' sont pairs, il faut d'abord Fig. «5. choisir le signe de ft, puis celui de ft', ft" conservant le douWe signe, On a encore un rebroussement de seconde
espèce (fig. $5 et 96)*
Quand l'équation en v' a des raçioes multiples réelles, on pose u f = u\ + V et on opère, une
■i 1- nouvelle transformation analogue aux précédentes,
Fig. 96. et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à une équation n'ayant plus de. racine multiple.
176. — Il est aisé de voir que la suite de ces transformations ne peut se prolonger à l'infini, et qu'elle doit nécessairement se terminer après un nombre limité d'opérations. Si l'on désigne, en effet, par m le degré de l'équation proposée, lé plus fort exposant de k et de u dans les équations (9) et ( 1 o) étant au plus w, il e$t évident que le degré de l'équation (12) ne peut
surpasser — ; le degré n de la racine multiple v ne peut donc
surpasser -. Quand dans l'équation (,.), on remplace u par
% + k\ le premier groupe fournit un terme en k'" indépendant de ft'; l'exposant de k' dans le premier groupe de la nouvelle équation sera donc au plus égal à n; le degré de l'équation
ïi fît
en tf ne pourra donc surpasser — ou —7. En continuant ainsi, on voit qu'après un certain nombre d'opérations le degré de
l'équation à laquelle on arrive, ne pouvant surpasser — r»> sçra
nécessairement du premier degré.
Le raisonnement serait en défaut si l'on avait q=zq k czsq lt ... mais, dans ce cas, comme ft = ft'=ft"=... le degré de ft'neva pas en augmentant; comme d'ailleurs, à chaque opération, on
divise par une certaine puissance de /*, il est évident que ce degré va en diminuant; on arrivera donc à une équation du premier degré en ft, dans laquelle le premier groupe sera nécesr sairement formé de ce terme en h et du premier terme indépendant de h i on aura ainsi à résoudre une équation binôme en it, et par suite une équation du premier degré en i\
177. — Il résulte de ce qui précède, que les courbes algébriques n'admettent ni points d'arrêt, ni points saillants. La méthode ramène, en effet, la construction de la courbe à la considération des racines simples réelles de diverses équations ; or nous avons vu que dans tous les cas une racine simple donne deux branches ayant même tangente, et situées de part et d'autre ou d'un même côté de la tangente ou de la normale; elles forment donc, ou une courbe ordinaire convexe ou à inflexion ou un rebroussement de première ou de seconde espèce.
Il est à remarquer qu'une fois arrivé à une racine simple, ce qui suffit pour la construction de la courbe, si Ton continuait les transformations on n'aurait plus à considérer que des équations du premier degré en u ; U n'y aurait plus de subdivision dans le calcul; les exposants seraient tous entiers et Ton obtiendrait le développement de k en série suivant les puissances croissantes de h.
178. — La même méthode sert à déterminer avec exactitude les branches infinies de la courbe et leurs asymptotes ; elle donne toutes les asymptotes paraboliques de la forme
y = ax n + bx n ' + e 7
les expoasmts de a? étant entiers ou fractionnaires, mais positives, Dans l'équation proposée , considérons x et y comnote des
quantités infiniment grandes. Marquons dans un plan les points qui ont pour coordonnées les exposants de x et dey dans chaque, ternie et désignons par jx le degré de y par rapport à x\ le premier groupe, c'est-à-dire le groupe des termes du degré le plus élevé, devant contenir au moins deux termes, on démontrera, comme précédemment que jx est commensurable, que les points correspondants aux termes de même degré sont en ligne droite, et que la droite qui passe par les points correspondants aux termes du premier groupe laisse tous les autres points au-dessous et à sa gauche. D'après cela, pour former le premier groupe, on imaginera une droite se mouvant parallèlement à l'axe de x et venant des y positifs jusqu'à ce qu'elle rencontre un premier point, puis, tournant autour de ce point, de gauche à droite, jusqu'à ce qu'elle en rencontre un second, tournant ensuite autour de ce second point dans le même sens, jusqu'à ce qu'elle en renôontre un troisième et ainsi de suite, jusqu'à ce que la droite devienne parallèle à l'axe des y. Chacun des côtés de cette ligne brisée donnera une manière d'établir le premier groupe.
Si ~ désigne la valeur correspondante de [x, on posera x-=x ,q 9
ou x=±x' q suivant que q est impair ou pair, y=uaf*; si l'on divise car la plus haute puissance de x\ l'équation sera ordonnée
suivant les puissances croissantes de -7; égalant le premier
groupe à zéro, on aura à résoudre une équation en u que Ton simplifiera en posant u*=v. Soit t* une racine de cette équation,
on posera « = t/ + fc, - =ft, et l'on arrivera à une équation de
la forme
sAA a ^=o
entre le? deux quantités infiniment petites h et k. On traitera cette équation par la méthode suivie pour le3 points singuliers, et l'on poussera les calculs jusqu'à ce que l'on arrive, dans le développement de fc, suivant les puissances croissantes de ft, à
un exposant plus grand que p, ou plus loin encore si la séparation des racines l'exige ; la valeur correspondante de y se trouvera ainsi développée suivant les puissances décroissantes de x et le dernier terme ou les derniers termes étant affectés d'exposants négatifs. En négligeant ces derniers termes, on aura l'asymptote parabolique ; les derniers termes indiqueront le nombre et la disposition des branches de courbe qui correspondent à une même asymptote.
Lorsque - = i, ~ étant égal ou supérieur à l'unité, l'asymptote devient rectiligne. Nous remarquerons qu'à une même asymptote correspondent toujours deux branches de courbe situées d'un même côté, ou de côtés différents par rapport à l'asymptote, vers une même extrémité ou vers deux extrémités différentes.
