CHAPITRE in

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Théorème I.

179. — Si, par un point donné, on mène à une courbe algébrique deux sécantes ayant des directions déterminées, le rapport des produits des distances du point donné aux points d'intersection des sécantes avec la courbe est indépendant de la position du point donné.

Soit, en effet, f(x>y) == o l'équation de la courbe. Soient a, 6

les cosinus des angles que fait avec les axes une sécante menée par le point fixe P, (a? , y ) (fig. 97). On aura les distances r du point fixe aux points

Fi s- 97 - d'intersection de la sécante avec la

courbe, en substituant dans l'équation de la courbe x -\-ark x, et y rj- br à y. Or on a

f&o + or, I/o + br) = f(x„ y ) + r(af'x + bf'y Q ) + +^<pî>,ô) = o.

Le produit des diverses valeurs de v est

Pour une autre sécante partant également du point P, et dont

les cosinus des angles avec les axes sont a', b\ on aura de même

r? r? w -f- / fa» y<>)

On en déduit

r t «i r TO cp(a',fr)

^ *". ffa*)'

expression indépendante des coordonnées du point fixe. Il est clair que dans l'application de ce théorème, il faudra

tenir compte du signe des grandeurs v l9 » s et faire entrer

d'ailleurs celles de ces longueurs qui sont imaginaires.

Yhéorème II.

180* — Si, par deux points fixes, on mène des sécantes

dans une mime direction, le rapport des produits des segments

interceptés entre les points fixes et la courbe est indépendant de la direction commune de ces sécantes.

On trouve en effet, en opérant comme précédemment,

f fa> VU rs\ r m <p(a,6) __ /fa, y )

r\r\ r" m f {*„]/.) /Vo^oV

Tfa *)

ce qui démontre le théorème.

Théorème III.