APPLICATIONS DU THÉORÈME DES TRANSVERSALES

182. — En appliquant ce théorème à une ligne droite coupée par un triangle, on obtient le théorème ordinaire des transversales.

Toute transversale détermine sur les côtés d'un triangle ABC

six segments tels que le produit de trois segments non consécutifs est égal au produit des trois autres.

„. • Soit DE la transversale ; on a immé-

Fig. 99. 7

diatement (fig. 99), AF.BD.CB = AB.BE.CD,

ce qui démontre le théorème.

Réciproquement, si trois points D, E, F situés sur les côtés d'un triangle déterminent six segments qui jouissent de cette propriété, ils sont en ligne droite, pourvu que les trois points, ou un seul d'entre eux, se trouvent sur les prolongements des côtés du triangle.

Corollaire. — Trois droites OA, OB, OC menées d'un mime % point aux sommets Sun triangle ABC, déter- ^ minent sur ses côtés six segments tels que le produit de trois segments non consécutifs est B> c égal au produit des trois autres changé de

Fig. ioo. signe.

On a en effet, en considérant le triangle ABA' et la transversale CC (fig. 100),

AC'.BC.A'O = AO.BC'.A'C, et en considérant le triangle ACA' et la transversale BB\