AC . BA'. CB' = — (AB' . BC . GA

ce qui prouve la proposition.

La réciproque est évidente : si trois droites issues des sommets d'un triangle déterminent sur ses côtés six segments qui jouissent de cette propriété, elles se coupent en un même point, pourvu que les trois droites ou une seule d'entre ettes coupent tes côtés mêmes du triangle.

183. — Le même théorème s'applique de la même façon à une conique coupée par un triangle, et on peut en déduire la réciproque. On a ainsi un moyen de reconnaître si six points donnés sont sur une conique.

Il est facile au moyen de cette propriété de démontrer le théorème suivant :

Dans tout triangle circonscrit à une conique, les droites qui

| joignent les sommets aux 'points de contact se coupent* au même point.

Soit en effet ABG un triangle circonscrit à une conique (fig. 101). Soient a, i, îles points de contact de ce triangle avec la conique. — On a :

Aç 1 .Ba ï -C6 a = Afc'.Ga'.Bt';

d'où l'on tire ;

Ac.Ba.C6 = ± Ab.Ca.Bc.

En écartant le signe -f , qui indiquerait que les trois points a,b,c sont en ligne droite, il reste

Ac.Ba.Qb s=s — Ai . Bc . Ca ,

ce qui montre que les trois droites partant des sommets du triangle et aboutissant aux points de contact se coupent au même point.

186, — Comme dernière application, nous allons montrer

quelques propriétés des courbes du troisième degré résultant immédiatement de ce théorème.

i° Les trois points d'inflexion d'une courbe du troisième degré sont en ligne droite.

Soient a, 6, c trois points d'inflexion réels pris sur une courbe

ia du troisième degré. Je mène les tangentes en ces points ; eHes forment le triangle ABC (fig. 102).

En considérant le point d'inflexion comme la réunion de trois points où la tangente se confond avec la courbe, on a :

Fig. «02.

(Ac) 8 (Ba) 8 (C6) 8 = (— A6) 8 (Ca) 8 (— Bc) 8 = A* 3 Ca*Bc*;

d'où !

Ai.B#,C6 = A6.Bc.Ca,

ce qui montre que les trois points a,b,c sont en ligne droite.

2 On coupe une courbe du troisième degré par une droite;

aum points dtinsersection on mène des

tangentes qui viennent rencontrer la

courbe en trois points qui sont en ligne

>;., droite. Soient a,b,c les points où la

droite rencontre la courbe du troisième

Hg. io3. degré; en menant par ces points des

tangentes à la courbe, on forme le triangle ABC (fig. io3). Ces

tangentes coupent la courbe en trois autres points a', b\ c', et

on a :

kc\kd. Ba*. Ba\ C6*.C6' = Ai* A4'. Ca'Ctf. Bc\ Pc'.

Or, les trois points a, 6, c étant en ligne droite, on a :

Ae*.B«».C4* = AÔ».Ca*.£**.

Ac'.Ba\Ci'= Aft'.Bc'.Ca',

Donc :

égalité qui prouve que les trois points a\b',c' sont en ligne droite,