CONJUGUÉS HARMONIQUES DE DIFFÉRENTS ORDRES
185. — Prenons sur une droite m points a t , a, . . . a mt Soit p un
point fixe et r , , r f . . . r m ses dis-
' J a « *• p ' a « tances aux m points (fig. io4). Fig - 104 On appelle conjugué harmonique
du premier ordre du point p, le point p' dont la distance au point p satisfait à l'équation :
Les points conjugués harmoniques du second ordre sont les points p' déterminés par la relation :
ou
Cette équation étant du second degré, il y a deux points conjugués harmoniques du second ordre.
On peut voir par là quelles sont les relations qui définissent
les conjugués harmoniques des divers ordres. . Les points conjugués harmoniques du (m — 1 ) e ordre sont déterminés par l'équation :
Il y a m— 1 points de cet ordre.
Enfin si l'on cherche les conjugué** du m e ordre, il est clair qu'ils seront donnés par l'équation :
et l'on voit qu'il y aura m points conjugués de cet ordre, qui coïncideront avec les m points donnés a |f a,..- a*.
186. — Il existe entre les points conjugués harmoniques une réciprocité remarquable :
Si le point p' est conjugué harmonique du n* ordre du point p, par rapport aux points a s , a,... a», le point p est conjugué harmonique du point p', du m — n* ordre, par rapport aux mêmes points.
Le point p' conjugué harmonique du premier ordre du point p est déterminé au moyen de l'équation :
ou
Appelons r^, r',, . . . r' m les distances du point p' aux points a l% a,.. .,a w , nous aurons les relations suivantes
r + r\=zr i9 r + ^ = r s , , r + v* m = r m .
186 LIVRE ilL ~ CHAP. IV.
De sorte que l'équation précédente devient :
ou :
en comptant la distance p'p = r ' à partir du point p', comme nous venons de faire pour les autres, ce qui revient à changer r en — r'.
Cette dernière équation mise sous la forme
si Von multiplie tous les termes par 1$ prodpi
devient
elle exprime que le point p est conjugué harmonique du point p du m — i e ordre.
En général un point p' conjugué harmonique du point p de Tordre n est défini par l'équation
que Ton peut mettre sous la forme
Eâ
(? Fj V sJ'-V tfj
Si l'on multiplie tous les termes par le produit comme précédemment, cette équation devient
elle exprime que le point p est conjugué harmonique du point p' de Tordre m — n.
