POLAIRES DES DIFFÉRENTS ORDRES

187. — Supposons que par un point fixe p on mène une sécante quelconque à une courbe de degré m, il est évident que le lieu du point p' conjugué de premier ordre du point p sur chaque sécante est une ligne du premier degré, ou une ligne droite ; que le lieu des deux points p 1 conjugués du second ordre du point p sur chaque sécante est une courbe du second degré; et qu'enfin le lieu des points conjugués de l'ordre m — 1 est une courbe du degré m— i, La courbe proposée admet ainsi m — 1 polaires successives dont nous chercherons les équations.

Soit

f(v> Vi z ) =

l'équation de la courbe en coordonnées homogènes. Menons par le point p, (# , y , s ) une sécante, et posons

x = # + ar, V = Vo + ftfj

L'équation de la courbe devient en coordonnées polaires

f(x + ar, y -j- br, z ) = o.

En divisant par r", les deux membres de cette équation, on a

Si Ton appelle r t , r f ... r m les distances du point p aux m points d'intersection de la sécante et de la courbe l'équation de la courbe se mettra sous la forme

~~ \r rj \r rj \r rj =

La polaire du degré m — i que l'on appelle aussi première polaire a pour équation

c'est-à-dire

De même la polaire du degré m — 2 ou la seconde polaire a pour équation

ou plus simplement

En général, la n e polaire a pour équation

Cherchons maintenant les équations de ces courbes en coordonnées rectilignes. Si Ton pose

on a identiquement

et en général

D?R = (xj) xr + y D f , + s D,,)»R.

Multiplions tous les termes par r"; l'équation de la n* polaire devient

(0 (* D* + y<p y + *<A)Vfo y> *) = °-

188. — Nous avons remarqué que, si le point p' est conjugué du point p de Tordre m — n, réciproquement le point p est conjugué du point p' de Tordre n. L'équation précédente est la relation qui existe entre les coordonnées # M , y , z du point p et les coordonnées a?, y, z du point p' ; si Ton regarde ces dernières coordonnées comme constantes et les premières comme variables, on peut dire que l'équation (1) est le lieu du point p conjugué du point fixe p' de Tordre n.

Permutons maintenant les lettres x et #, y et y, z Q et z, nous voyons que l'équation

( 2 ) (*d. + yiV + ÂJVfo* y , * ) = o

représente la polaire du degré n d'un point fixe ayant pour coordonnées ar , y , s .

Ainsi la polaire du degré n d'un point fixe est représentée par Tune ou l'autre des deux équations

(* D. + 1/o^v + * D.)*-Vfo y ', z) = o,

dans lesquelles # , y , s désignent les coordonnées du point fixe et x, y, z les coordonnées variables d'un point quelconque Su lieu.

Cette dernière forme d'équation est en général plus commode que la première. Par exemple, la droite polaire a pour équation

(*D« # + y\)y 9 + zV s )f(x , y 0J z ) = o,

et la conique polaire

[xD x +yD v + zD t )*f{x„ y , z ) = o.