PRINCIPALES PROPRIÉTÉS DES POLAIRES

189. — On peut énoncer la réciprocité des points p et p' en disant que le lieu du point p' dont la polaire du degré n passe par le point fixe p est la polaire du degré m — n de ce point p. Par exemple le lieu du point p' dont la droite polaire passe par le point fixe p est la polaire du degré m — 1 ou la première polaire du point jp.

Il en résulte qu'une droite donnée admet (m — i) s pôles; car si l'on prend deux points sur cette droite, les pôles de la droite seront les points d'intersection des premières polaires de ces deux points; ces premières polaires étant du degré m — i, le nombre des points d'intersection est (m — i)*.

On peut remarquer encore que les premières polaires de tous les points d'une droite passent par (ni — i) 2 points fixes, qui sont les pôles de la droite.

Considérons l'une des tangentes menées du point p à la courbe proposée sur cette droite, deux points d'intersection se confondent, et le polynôme R contient le facteur au carré ;

par conséqent, lé polynôme D t R admet le même facteur au pre-

mier degré. On en conclut que les points de contact des tangentes menées du point p à {a courbe proposée appartiennent à la première polaire de ce point

190. — Lorsque la courbe proposée â un point double a, sur la sécante pa deux points d'intersection se Confondent; donc les points doubles de la courbe proposée appartiennent à la première polaire d'un point quelconque du plan.

Transportons l'origine des coordonnées au point a et soient tt=io et (3 = ô , lès équations des deux tangentes à la courbe ; l'équation de la courbe sera de la forme

fc^**" 2 4 WaS 1 "" 1 ^- + V m == o.

La première polaire du point p, a pour équatton