K)(K) (HH

OU

2r n+1 r w+2 rjr — r^r — r^) (r — r n ) = o.

Lorsque le point p, situé sur la courbe en est un point simple, sur chaque sécante un facteur r i est nul; tous les termes qui contiennent ce facteur s'évanouissent, les autres admettent le facteur r — r i ou r; la polaire passe donc par le point p. Si la sécante devient tangente à la courbe, un second facteur r, devenant nul, l'équation précédente admet le facteur r au carré, et par conséquent la tangente à la courbe est aussi tangente à la polaire. Ainsi toutes les polaires d'un point situé sur la courbe passent par ce point et sont tangentes à la courbe en ce point.

Lorsque le point p, situé sur la courbe en est un point multiple d'ordre k, sur chaque sécante k des facteurs r t , r 8 , .... r k sont nuls; si n est plus petit que k f l'équation de la polaire se réduit à une identité ; si n est égal ou supérieur à k, l'équation de la polaire contient le facteur r*, d'où l'on conclut que le point p est aussi sur chaque polaire un point multiple d'ordre k. Les tangentes à la courbe proposée au point multiple sont aussi tangentes à la polaire. Il est bon de remarquer que la polaire du degré k est un système de k droites; savoir, les tangentes à la courbe au point multiple. Par exemple, la polaire conique d'un point double se compose de deux droites, les deux tangentes à la courbe.