Si
sont les équations de deux droites passant par le point 0, mais n'appartenant pas au faisceau, les équations des droites du faisceau sont de la forme
Or, si nous posons
a — - *oP = °f>
« — *,?=: fc
ce qui donne
k t — k Q les équations des deux dernières droites deviennent
et alors les quatre droites du faisceau ont des équations de la forme
Il en résulte que nous pouvons appliquer le résultat trouvé précédemment (n° 8) pour obtenir l'expression du rapport anharmonique. Nous trouvons ainsi que ce rapport est
11. — Tout ce qui précède suppose le faisceau composé de droites réelles ; voici une démonstration plus générale qui s'applique aux faisceaux imaginaires.
Prenons pour origine le point 0, ce qui signifie , si ce point est imaginaire, que Ton pose x = x + x\ y = y + y'* et qu'on substitue les valeurs qu'on vient d'écrire dans les équations des quatre droites.
Soient alors
ou
l'équation de la première droite, et
RAPPORT ANffABMGMQUE. 11
les équations des autres droites, On peut y supposer
aS + b.* = ** + b* = ** + b*=a* + i*=u Cela fait , soit
mx -f- ny — p = o
une équation dont les coefficients m et n satisfont à la relation m* + n * = l » e t qui représente une sécante coupant les droites du faisceau aux points x 9 et y , x t et y t , x % et y t , #, et y y Si l'on désigne par I lf ï f , J, les distances respectives de ces points au point 0, on a
et si l'on cherche l'expression de la distance p # , f du point x Q ,y { au point x t ;y t , on trouve
a t — ar„ y,—y t (y,— y,) g,— fo— x )y
ou bien
On trouverait de même
Pu»- - •
12 IIVRE I. — CHAP. I.
De ces expressions, on déduit que le rapport Enharmonique cherché est
a * b * — à a t : a 6 8 — b a t a A — à t a t " afa *— b t a^
On voit que cette valeur est indépendante de la position de la sécante, et que, lorsque toutes les droites sont réelles, elle n'est autre chose que
sin AOC m sin AOD sin BOC : sin BOD'
12. — Dans le cas d'un faisceau réel, nous avons trouvé que le rapport anharmonique est égal à |, lorsque les quatre droites ont pour équations
B = o, A — AB = o, À~A'B = o.
On trouve la même expression dans le cas d'un faisceau imaginaire. Soient, en effet,
P = *i* + »iy — />! = <>, * — kî = [a ê — kà l )x + {b 9 — kb i )ir—(p ê --kp l ) = o 9
les équations des droites.
En transportant l'origine au point de concours de ces droites, on ne change pas les coefficients de x et de y dans leurs équations; par conséquent, l'expression du rapport anharmonique
RAPPORT ANHARUONIQUE. 13
du faisceau est, d'après ce qui précède (n* 1 1),
expression qui, par la suppression des facteurs communs aux deux termes de chaque rapport , se réduit à
L'expression
k se déduisant de la précédente r>, dans le cas d'un faisceau
réel, par des calculs purement algébriques, s'étend, sans modification, au cas d'un faisceau imaginaire.
