PROPORTION HARMONIQUE

13. — Lorsque l'un des rapports anharmoniques de quatre points en ligne droite est égal à — 1 , les deux autres sont

égaux à - et à 2 ; les trois inverses sont égaux aux précédents. Dans ce cas , on dit que les quatre points forment un système harmonique.

Ainsi les quatre points a, 6, c, d (fig. 5) forment un système

harmonique si l'on a

oc b a

ac ad

Fig. 5. • — = — i #

bc - bd

Les deux points c et d sont dits conjugués harmoniques par rapport aux deux points a et b*

Ml UVBE 1. — CHAP. 1.

Les deux points e et d divisent la droite ab dans le même rapport, car on a

ac ùd

Tb~Td m

Réciproquement, lorsque deux points c et d divisent une droite ab dans le même rapport, ces deux points sont conjugués harmoniques par rapport aux extrémités a et 6 de cette droite.

Il est évident que si le point d s'éloigne à l'infini, le point c tend vers le milieu o de la droite ab.

14. — La moitié d'une droite est moyenne proportionnelle entre les distances du milieu de cette droite à deux points qui forment avec ses extrémités un système harmonique.

En effet, de l'égalité

on déduit

et , par suite ,

ou bien

ce qui donne enfin

ac ' 7b'

ad ~ bd'

ac âd

cb ~bd'

ac + cb ad + bd'

ac — cb "ad — bd*

10b *od '

ocxodi

Réciproquement i si deux points o et d dé la droite ab sont tels que ob 2 = ocxod, ces points sont conjugués harmoniques

* RAPPORT ÀNHiJRMONiQUK. 15

par rapport aux points a et b. Il suffit , pour le démontrer, de reprendre, en ordre inverse, les égalités qui précèdent.

15, — Dans la proportion harmonique

ou

ac cb~

ad

ac

= cb . ad,

introduisons les distances du point a aux trois autres; nous trouvons

ac.(ad — ab) = (àb — ac) ad ou

zae.ad = ab {ab -J- ad) ,

ce qui donne, en divisant par ab.ac.ad,

ab uc ad

Cette égalité permet de calculer une des trois distances ab, ac i ad, lorsqu'on connaît les deux autres.

16. — Quand, dans un faisceau de quatre droites issues d'un même point, l'un des rapports anharmoniques est égal à — 1, on dit que le faisceau est un faisceau harmonique.

Si, par exemple, dans le faisceau des droites OÀ, OB, OC, OD o (fig. 6) , on a

sinAOC sinAOD

sinBOG""sinBOD"" lf

Fig . 6 . ce faisceau est un faisceau harmonique.

Il résulte de cette définition qu'un tel faisceau détermine, sur une sécante quelconque, un système de quatre points* a, &, c, d, en proportion harmonique.