CONDITIONS POUR QU'UNE COURBE AIT UN POINT DOUBLE

193. — Soit f(x,y,z) = o l'équation de la courbe en coordonnées homogènes. Il faut que les trois équations du degré

soient compatibles. L'équation résultante à laquelle on parviendra par l'élimination de #, y, z sera du degré 3 (m — î) 1 par rapport aux coefficients ; car les équations précédentes étant du degré m — 1 , les coefficients de chacune d'elles entreront dans le résultat au degré (m — 1)% par conséquent le degré

final de l'équation de condition sera 3 (m — i)*.

Cherchons, par exemple, la condition pour qu'une conique As» +À" + AV -f iï\yz + sWzx -f <i\\"xy = o

se décompose en deux droites, c'est-à-dire ait un point double. Il faudra éliminer x, y, z entre les trois équations

hx + B"y + B'z = o, h'y + Bz -jl B"# = o, A"s -J- B'x-j- By = o;

en égalant à zéro le déterminant, on obtient l'équation de condition

ÀA'A" — AB» — À'B' 1 — À"B" f + aBB'B" = o ,

qui est effectivement du troisième degré.

194. — Si une courbe donnée a un point d'inflexion! en prenant ce point pour pôle, toutes les polaires passent par ce point, La polaire conique qui a alors trois points communs ayec la tangente, se décompose nécessairement en deux droites, en sorte que la recherche des points d'inflexion de la courbe revient à celle des points pour lesquels la polaire conique se décompose en un système de deux droites.