D* X D\D S 4 - D^DV) 1 - D\(D« ..)• - D^D'J

Les points d'inflexion sont donnés par l'intersection de cette courbe du degré 3 (m — 2) et de la courbe proposée. Ainsi le nombre des points d'inflexion ne peut surpasser 3m (m — 2) .

196. — L'existence des points multiples réduit le nombre des points d'inflexion.

Nous avons vu que la polaire conique d'un point double, comme celle d'un point d'inflexion, est un système de deux droites ; les points doubles de la courbe proposée appartiennent donc à la courbe (2) ; mais en outre, chacun d'eux est sur cette courbe un point double, car si l'on prend pour origine le point double et pour axes de coordonnées les deux tangentes à la courbe en ce point, l'équation de la courbe peut s'écrire, en coordonnées homogènes

xyz m ~* + u $ z m ^ -j- -1-^ = 0.

Les deux derniers termes dans l'équation (2) donnent la partie la plus élevée par rapport à z, et cette équation se met

sous la forme

(tw — i) {m — s)rys ,m " 8 -f- t; 3 2 8m ~ 9 -f- .... = v».

Par conséquent l'origine est un point double de cette courbe, et les deux tangentes en ce point sont les mêmes que celles de la courbe proposée. Pour ces deux raisons, la courbe (a) a six points communs avec la courbe en ce point ; donc chaque point double réduit de six imités le nombre Mes points d'inflexion.

Lorsque les deux tangentes au point double coïncident, ce point est sur la courbe (2) un point triple. En effet, dans ce cas, en prenant ce point pour origine, et pour axe des x la tangente en ce point, on peut mettre l'équation de la courbe sous la forme

yV" 1 -f w 8 z w - 8 + . ... + V m =r o.

11 est facile de voir que les deux termes

Dy>y>\ - D^DV)*

fournissent la partie la plus élevée en % dans l'équation (2) qui devient

On voit ainsi que l'origine est un point triple.

Deux branches sont tangentes à la droite y = , la troisième à la droite D**w 8 = o ; la dernière coupe la courbe proposée en deux points qui coïncident avec le point double, chacune des autres en trois points, ce qui fait en tout huit points d'intersection; le nombre des points d'inflexion est donc réduit de huit unités.