DES FORMES DE L'ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ
198. — Une courbe du troisième degré peut être représentée par l'équation : *
1§8 iivre m, — chap. y.
En effet, cette équation contient treize constantes, et comme neuf suffisent, on voit qu'une équation quelconque du troisième degré peut être ramenée à cette forme d'une infinité de manières.
Cette équation est susceptible d'une interprétation géométrique; elle signifie que le produit des distances d' un point quelconque S une courbe du troisième degré à trois droites fixes est au produit des distances de ce même point à trois autres droites fixes dans un rapport constant. De ces six droites, deux sont arbitraires.
Théorème.
199. — Si une conique passe par quatre points fixes sur une courbe du troisième degré, la droite qui joint les deux autres points et intersection passe par un point fixe situé sur la courbe* Soient a, 6, c, d quatre points pris à volonté sur la courbe du
troisième degré (fig. io5). Je mène par ces quatre points une conique quelconque, qui coupera la courbe en deux autres points m, n. Si a = o, (3 = o, <x' = o, (3'=o désignent les équations des côtés ab 9 cd, bc % ad du quadrilatère abcd, la conique est représentée Fig. 105. par l'équation
D'ailleurs l'équation de la courbe du troisième degré peut être mise sous la forme
a p Y — k VpY = o ;
car la courbe passe déjà par les quatre points a, &, c, d et les facteurs y, y', k contiennent cinq autres paramètres arbitraires. En cherchant les points d'intersection des deux courbes, on obtient l'équation :
ÉTUDE DES COURBES 1>V IROJSlÈlHfi DEGRÉ. 400
L'équation
est donc celle de la droite qui joint les deux points d'intersection m et f». On voit que cette équation est satisfaite par :
c'est-à-dire par les coordonnées d'un point fixe p situé sur la courbe.
200. — Une courbe du troisième degré peut aussi être représentée par F équation
a?Y — Aa'Y c= o ; (a)
que l'on obtient en supposant que deux droites <x'=o, P'=o de la forme précédente coïncident
Cette équation contient onze constantes, de sorte qu'une équation du troisième degré peut y être ramenée d'une infinité de manières* L'une des cinq droites est arbitraire. Les trois droites qui ont pour équations :
sont tangentes à la courbe» et leurs points de contact sont sur la droite représentée par a' = o.
De cette forme résulte immédiatement un théorème que nous avons démontré en traitant des transversales : Si aux points où une droite quelconque coupe une courbe du troisième degré, on mène des tangentes, les trois points où ces tangentes coupent la courbe sont en ligne droite.
Réciproquement, ri de trois points en ligne droite pris sur une courbe du troisième degré, on mène des tangentes à cette courbe, les points de contact de ces tangentes avec la courbe sont trois à trois en ligne droite.
LIVBE III. — CHAP. V.
Théorème de Maelaurln.
201. — Si d'un point kpris sur une courbe du troisième degré, on mène des tangentes à cette courbe, par Us quatre points de contact a 1? a,, a,, a 4 passent trois couples de droites dont les centres c l9 c t ,c 8 sont situés sur la courbe, et les tangentes en ces trois points passent par le point C où la tangente en À rencontre la courbe.
Ce théorème est une conséquence du précédent. Supposons que
des trois points en ligne droite, deux coïncident en À (fig. 106); menons les tangentes Aa, , ka t , Aa„ Aa 4 à la courbe; menons de même les tangentes Gc i9 Ce,, Cc 8 à la courbe, il est clair que la droite c x a A qui joint les points de contact des deux tangentes ka t , Cc t passe par un autre point a t , qui est le point de contact d'une tangente menée de A à la courbe. Il en est de même des droites c t a k , c 2 a t , c t a t , ce qui démontre le théorème.
Fig. !06.
Théorème,
202. — Si A t , A t , A 8 , A 4 et B t , B f , B 8 , B 4 sont deux faisceaux de tangentes ayant leurs sommets A et B en deux points de la courbe, les droites qui joignent les points de contact des tangentes du premier faisceau aux points de contact des tangentes du second se coupent deux à deux sur la courbe. Les tangentes aux points ainsi obtenus passent par un point fixe C, situé à Tintersection de la droite AB avec la courbe.
Ce théorème n'est qu'une extension du théorème précédent. La démonstration est fondée sur le même principe. En effet, nous savons que les points de contact des tangentes menées des
points A, B, G, sont trois à trois en ligne droite; cela suffit pour rendre la proposition évidente.
203, — La droite qui joint les points de contact des droites A, et B, passe par le point de contact de la droite G,, une des tangentes menées du point G à la courbe; supposons maintenant que les droites de chaque faisceau soient désignées de façon que la ligne joignant les points de contact des droites A, et B t passe aussi par le même point de contact, alors l'équation de la courbe sera de la forme
<xPy — 8 ? s = o ,
8=0 représentant la corde des contacts D, e=o, la droite AB. Mais on peut encore l'écrire, d'après ce qui précède
8' = o représentant la nouvelle corde des contacts. On doit donc avoir identiquement
Or le second membre se décompose en trois facteurs linéaires, donc on doit retrouver ces facteurs dans le premier membre.
La conique représentée par l'équation
ap — a'p'=o,
est circonscrite au quadrilatère formé par les droites A, , A f , B â , B f , et comme elle doit se réduire à un système de deux droites, l'une de ces droites est représentée par e=o; l'autre qui joint les intersections des droites A t , B 2 et A $ , B t , sera représentée par Tune des équations
Enfin la droite G t sera représentée aussi par Tune des équations
On voit ainsi que le point de contact de C t est le sommet d'un faiscead harmonique formé des cordes de contact D et D', de la tangente C 4 menée du point C à la courbe, et de la droite qui joint les intersections des tangentes À t , B, et À 8 , B t . Ces deux dernières droites sont les bissectrices des angles des cordes de contact. — Dans le cas du théorème de Maclaurin, où les points A et B coïncident, on a au point de contact de C t un faisceau harmonique formé des droites D, D\ C t et de la droite menée du point À au point de contact de cette dernière,
