Pour terminer ce qui est relatif à la forme

afr — A«'Y~o,

nous ferons remarquer que si Ton éloigne la droite des contacts à l'infini, les droites dont les équations sont a =o, fi = 0,7=0 deviennent les asymptotes à la courbe, et l'équation devient

«Pï — * Y = ;

ce qui donne un théorème qu'on peut énoncer ainsi :

Les trois points où les asymptote* d'une courbe du troisième degré coupent la courbe sont en ligne droite, et le rapport du produit des distances d'un point quelconque de la courbe aux asymptotes, à la distance de ce même point à cette droite est constant*

205. — Une courbe du troisième degré peut encore être représentée par T équation

<*Py — AS 8 = o , (3)

qui renferme neuf paramètres arbitraires. Les trois droites dont

les équations sont a =2=0, p=o, y=°> 8ont les tangentes aux points d'inflexion de la courbe situés sur la droite 8 = 0. On en conclut qu'une courbe du troisième degré a au mtfns trois points d'inflexion ; l'un au n?oins est réel, car, si deux sont imaginaires conjugués, le troisième est réel.

Mais cette forme est encore l'expression du théorème suivant : Le cube de la distance <fun point de la courbe à la droite qui passe par trois points S inflexion est dans un rapport constant avec le produit des distances aux tangentes aux trois points d'inflexion.

206. — Voici encore une autre forme, qui a aussi rapport aux points d'inflexion

aa » 4- op + ct 8 — d*fa = o. (4)

Cette équation renferme neLf constantes, dont trois servent de coefficients, on peut introduire deux de ces coefficients dans les polynômes linéaires a, (3, y» et mettre l'équation sous la forme

a « + pi -j- y 8 — 3tfapY = o.

Chacune des droites a= o, (3=o, y=o, passe par trois points d'inflexion. En effet, si Ton représente par une des racines imaginaires de l'équation 8 8 = 1, l'équation peut être mise sous la forme

(d* + p + y) (d* + ep + 6*y) {du -f Ô'p + 8y) = (rf 8 — 1 )<x 8 ,

et l'on reconnaît que la droite a=o passe par trois points d'inflexion réels ou imaginaires. Il en est de même des deux autres droites fl=oçt y=o.

207. — Si dansja forme (3}, on suppose que la droite 5==o passe par le point de rencontre des deux droites <x=o, £ = o, on obtient une équation de la forme

«p Y -*(a + Xp)» = o. (5)

qui ne renferme plus que huit constantes. Le point d'intersection de ces deux droites est un point double, et ces droites sont les tangentes à la courbe en ce point. De plus la droite représentée par

passe par un point d'inflexion, et la droite y = o est la tangente en ce point. Ainsi dans ce cas, la droite des contacts passe par un point double et par un point d'inflexion. Cette forme convient aux courbes de la quatrième classe.

208. — Si dans la formule (5) on suppose que deux facteurs linéaires a,(î coïncident, on obtient l'équation

où il n'y a plus que sept constantes. Cette forme convient aux courbes du troisième degré qui ont un point de rebroussement. La droite a = o est la tangente double ; quant au point de rebroussement, il se trouve sur cette droite et sur la droite des contacts 8 = o. Il y a en outre un point d'inflexion situé sur cette droite; l'équation y = o représente la tangente à la courbe en ce point. Cette forme convient aux courbes de la troisième classe.

209. — L'équation générale des courbes du troisième degré qui passent par sept points donnés est

Dans cette équation, S, S', S" sont les premiers membres des équations des trois courbes particulières du troisième degré passant par les sept points donnés.

L'équation ne renfermant que deux constantes, on pourra, en donnant les coordonnées de deux points par où passe encore la courbe, déterminer k et k' au moyen de deux équations du premier degré. — La courbe sera alors parfaitement déterminée.

Parmi les courbes particulières passant par les sept points donnés, on prendra les plus simples, par exemple la conique passant par cinq des points donnés et la droite passant par les deux autres.