POLAIRE HARMONIQUE D'UN POINT D'INFLEXION
210. — On a vu que la polaire conique d'un point d'inflexion d'une courbe algébrique se décompose en deux droites dont l'une est la tangente au point d'inflexion. Ce résultat appliqué au troisième degré fournit un théorème analogue au théorème fondamental des polaires dans les coniques.
Considérons un point p situé sur la courbe ; la polaire conique de ce point est le lieu des points pour lesquels on a la relation
ou
(Hj)G^)+H)HWw.)(KH
r |t r s , r, désignant les longueurs des rayons interceptées entre le pôle et la courbe. Cette relation peut encore s'écrire
j 1 " zss O
ou
rr >- + JZ*- + JlL- = 0t
En supprimant le facteur commun r, et faisant r 8 =o il vient
d*où
200 UVBE III. — GHÀP. V.
C'est la relation qui définit le point conjugué harmonique p' du point p par rapport aux deux autres points d'intersection de la sécante et de la courbe. On en conclut que le lieu du point conjugué harmonique d'un point p f situé sur la courbe est la polaire conique de ce point.
211. — Si le point p est un point d'inflexion, la polaire conique se réduisant à deux droites dont Tune est la tangente à la courbe, le lieu est la seconde droite. Ainsi, le lieu du point conjugué harmonique d'un point d'inflexion est une ligne droite. Cette droite s'appelle la polaire harmonique du point d'inflexion.
La polaire conique d'un point p, par rapport à une courbe du troisième degré, a pour équation
(*<A.+ y<p y + zA)fi x > y> z ) = °
ou
M* + Po ^ + ïoDy) A«5 M) = o.
Si l'or met l'équation de la courbe sous la forme (n° 2o5) l'équation de la polaire conique devient
a oPï + PoY* + Yo«? — 3*^ = o.
Lorsque le pôle coïncide avec un point d'inflexion (a =o, 8 =o) , cette équation se réduit à
«(PoY + YoP) = o ;
elle représente deux droites, Tune est la tangente a = o au point d'inflexion, l'autre
PoY + YoP = «
la polaire harmonique de ce point. On voit que la polaire harmonique d'un point d'inflexion n'est autre chose que la polaire
harmonique de ce point par rapport au système des deux droites (î=o, y =o, tangentes aux deux autres points d'inflexion situés sur la droite 8 = 0.
212. — La considération de la polaire harmonique dans les courbes du troisième degré donne lieu à des théorèmes analogues à ceux que nous avons vus pour les coniques.
Ainsi i° les droites qui joignent les extrémités de deux rayons menés par le pôle se coupent sur la polaire.
2 Les tangentes menées aux extrémités Sun rayon passant par le pôle se coupent sur la polaire.
On sait que d'un point donné on peut en général mener six tangentes à une courbe du troisième degré. Les points de contact de ces tangentes sont situés sur la polaire conique du point donné.
Si le point donné est d'inflexion, on n'en peut plus mener que trois ; alors les points de contact sont sur une ligne droite qui est la polaire harmonique.
Donc la polaire harmonique passe par les points de contact des trois tangentes menées du point d'inflexion. Si la courbe a un point double, on sait que la polaire conique passe par ce point Par conséquent, ce point se trouve aussi sur la polaire harmonique.
Théorème.
21S. — Si Von joint le point d'inflexionip aux trois points a,b,c où une droite coupe la courbe, les trois autres points a', b\ c'
d'intersection sont en ligne droite.
En effet, les droites ab et a'b' se coupent sur la polaire harmonique P (fig. 107). Il en est de même des droites oc, a'c'; donc les trois points a', 6', c' sont en ligne droite.
Fig. io7. Corollaire. — i a Si par le point d'îti*
flexion p on mène une droite oaa' et les tangentes aux points où
cette droite coupe la courbe, ces tangentes rencontrent la courbe en des points c, c' qui sont en ligne droite avec le point d'inflexion.
Il suffit de supposer que deux points a et & coïncident dans le théorème précédent.
2° Les trois points d'inflexion rèeh d'une courbe du troisième degré sont en ligne droite*
En supposant que les trois points a, 6, c coïncident, on voit en effet que les trois points a\ b\ c' coïncident aussi sur la droite pa.
On voit en outre que les tangentes à deux quelconques des points d'inflexion se coupent sur la polaire harmonique du troisième.
Théorème.
214, — Si par un point d'inflexion p on mène trois rayons qui rencontrent la courbe aux points a t ,a,, b t , b f , c,,c f , toute courbe du troisième degré passant par les sept points p, a lf a a , b,, b t , c lf c, admet le point p pour point d'inflexion.
En effet, les trois rayons qui partent du point p rencontrent la polaire harmonique en trois points a, b, c; ces trois points appartiennent à la polaire conique du point p relativement à chaque courbe passant par les sept points. Cette conique se décompose donc en deux droites et le point p est un point d'inflexion.
215. — Nous avons vu que le nombre des points d'inflexion d'une courbe de degré m est au plus 3m (m — 2) ; par conséquent une courbe du troisième degré a en général neuf points d'inflexion, dont trois réels au plus. Si on joint l'un d'eux à quatre autres, on a quatre droites sur lesquelles se trouvent les quatre derniers. Si une courbe du troisième d$gré est décrite par ces neuf points, elle admet ces neuf points pour points d'inflexion.
Le nombre total des droites qui joignent les points d'inflexion
est facile à obtenir; car, des droites qui passent par trois points d'inflexion, quatre passent par chaque point; donc leur nombre
est ^ ^ = 12»
