A UNE FORME SIMPLE

216. Nous avons vu que toute courbe du troisième degré a au moins un point d'inflexion réel ; soit p ce point et P sa polaire harmonique. Si on rejette à l'infini le point p et la tangente I en ce point, on aura un système de cordes parallèles divisées en deux parties égales par la polaire harmonique. On pourra effectuer cette transformation au moyen des diverses

méthodes que nous avons exposées. Si on se sert de l'homologie, il faudra prendre un axe d'homologie parallèle à la tangente au point d'inflexion. Cela revient, comme nous avons vu, à faire une perspective de la figure, sur un plan pa- Fig. 108. rallèle au plan mené par le point de vue

et la tangente I au planp (fig. 108).

Prenons dans le plan du tableau deux axes de coordonnées, la polaire harmonique pour axe des x et une parallèle aux cordes pour axe des y. L'équation ne devant contenir que la seconde puissance de y, sera de la forme

(kx + B)y f + Cx* + Dx* + Ex + F = o.

D'ailleurs il ne peut y avoir d'asymptotes situées à une distance finie, car la droite I ne rencontrant la première courbe qu'au point p, les tangentes aux points à l'infini sont rejetées à l'infini.

On a donc A = o, et l'équation de la courbe devient

y i —Ax z +Bx t + Cx+ï>.

210 LIVRE in. — CHAP. V,

Cette forme représente des courbes dites parabolique* qui fie composent de branches infinies sans asymptotes. Toutes les courbes du troisième degré peuvent être regardées comme les perspectives de ces courbes.

Étudions maintenant la forme de ces courbes.

217. — On peut supposer le coefficient À positif, sans quoi on changerait le sens de Taxe des x. La discussion de la courbe donne trois dispositions particulières qui peuvent rentrer dans la division générale des courbes du troisième degré, que nous avons indiquée au commencement du chapitre*

i° Courbes de la sixième classe. — On peut les diviser en deux espèces, suivant que le polynôme du troisième degré en x a toutes ses racines réelles et inégales, ou une réelle seulement.

Soient a, fl, c, les racines de ce polynôme égal à zéro, on peut

écrire :

Supposons ces racines réelles, et soit a < b < c. On obtient une première espèce de courbe {fig. 1 09) qui se compose d'une boucle

ou ovale, et de deux branches infinies;

on voit, en effet, que l'ordonnée est ima-

e f ginaire quand x varie de — 00 à a, réelle

* quand x varie de a à 6, imaginaire quand

x varie de b à c, et réelle quand x varie Fig. 101 ' de c à + 00 . D'un point extérieur, on peut mener six tangentes, dont deux à l'ovale.— Cette première espèce possède trois points d'inflexion réels dont un est à l'infini. On obtient la seconde espèce en supposant deux racines 6 et c

imaginaires. Dans ce cas, l' ordonnée est imaginaire quand x varie de 00 à a, et réelle quand x varie de a à l'infini. La boucle disparaît (fig. 110), et il ne reste que deux branches infinies symétriques de côté et d'autre de l'axe des x. — Il Fig. *«o. y a également trois points d'inflexion réels comme précédemment.

Fig. iii.

2 # Courbes de la quatrième classe. — On obtient cette variété

de courbes en supposant que le polynôme du troisième degré a deux de ses racines égales. Elle se divise encore en deux espèces suivant que cette égalité a lieu entre les deux plus petites ou les deux plus grandes. Si a = 6, on obtient un point isolé et deux branches infinies. 11 y a trois points d'inflexion réels (fig. 1 1 1). Si 6=<\ la boucle se joint au reste de la courbe (fig. 112);

on a ainsi un point double et deux branches infinies. Cette espèce n'a qu'un point d'inflexion : il est à l'infini.

3° Courbes de la troisième classe. — Si enfin les trois racines sont égales, la courbe présente un point de rebroussement et affecte la forme indiquée dans la figure 1 1 3 ; comme précédemment il n'y a qu'un point d'inflexion qui est à l'infini.

Fig. 113.

Fig. 112.