CHAPITRE I

Pôles et plans polaires.

RAPPORT ANHARMONIQUE.

218. — L'extension des théorèmes qui ont été donnés en géométrie plane pour le rapport anharmonique des faisceaux de droites, au rapport anharmonique des faisceaux de plans se fait sans difficulté. Ainsi :

Le rapport anharmonique des quatre points déterminés sur une droite quelconque par un faisceau de quatre plans passant par une même droite est constant

Considérons, en effet, deux sécantes, et par chacune d'elles faisons passer un plan ; ces plans couperont chacun le faisceau de plans suivant un faisceau de droites dont le rapport anhar-

monique est égal à celui de la sécante par laquelle passe le plan. Mais les deux faisceaux de droites ainsi déterminés ont une sécante commune, qui est la droite d'intersection de leurs plans ; leur rapport anharmonique est donc le même, et, par suite aussi, le rapport anharmonique des quatre points situés sur l'une des sécantes est égal au rapport anharmonique des quatre points situés sur l'autre.

Ce rapport anharmonique constant des quatre points déterminés sur une sécante quelconque par un faisceau de quatre plans, est dit le rapport anharmonique du faisceau.

Lorque le rapport anharmonique d'un faisceau de quatre plans est égal à — 1 , les plans sont dits former un faisceau harmonique.

219. — Systèmes homographiques. — Involution. — Deux faisceaux, dans lesquels les plans se correspondent d'une manière déterminée, sont dits homographiques, lorsque le rapport anharmonique de quatre plans quelconques du premier faisceau est égal au rapport anharmonique des quatre plans correspondants du second.

Si deux faisceaux homographiques ont le même axe, c'est-àdire passent par la même droite et que deux plans a et a' soient conjugués réciproques , c'est-à-dire tels que a considéré comme appartenant au premier faisceau ait pour correspondant a! dans le second, et que ci considéré comme appartenant au premier faisceau ait pour correspondant a dans le second, tous les plans seront conjugués deux à deux et ce système sera dit en involution.

Cela résulte immédiatement de ce que le système des deux faisceaux est coupé par une droite en un système de points en involution.

Dans un faisceau en involution, il y a deux plans doubles correspondants aux deux points double* du système de pointe en involution sur la sécante.

Deux plans conjugués forment avec les deux {dans doubles un faisceau harmonique.

Il n'y a plus rien de correspondant, dans les faisceaux en involution, au centre cTinvolution dans les systèmes de points en involution sur une droite.

220. — Equation du plan tangent à une surface. — Nous savons que le plan tangent en un point x, y, % d'une surface quelconque

a pour équation

L'équation de la surface peut s'écrire

si t est égal à 1 , ou encore si l'on multiplie par f, m étant le degré de l'équation

Mais alors f est une fonction homogène du degré m par rapport aux lettres x, y, s, t; on a donc identiquement, d'après le théorème des fonctions homogènes,

et comme le point x, y , s est un point de la surface, on a

Si l'on substitue dan» l'équation du plan tangent, en rempla-

UVK£ IV. — CHAP. I.

çant t par T pour symétrie d'écriture, T étant du reste égal à 1 comme t, cette équation devient

Xr.+ Y/\+ZA + Tf«=o.

221. — Forme particulière de V équation du plan tangent pour les surfaces du second degré. — Si f (#,y,z,t) est une fonction homogène du second degré, f x , f yi f M , f % seront des fonctions homogènes du premier degré en a?, y, s, f, et comme f KZ -=f^ si Ton forme un tableau des coefficients des dérivées f 9i f y , f M i ft ordonnées par rapport aux lettres x, y> z> f, ce tableau sera symétrique par rapport à la diagonale.

De cette symétrie résulte l'identité #

car dans les deux membres le coefficient de afz est y

(Il est évident que la démonstration de cette identité s'applique à une fonction homogène du second degré à un nombre quelconque de variables).

Il résulte de cette identité que l'équation du plan tangent à une surface du second degré, en un point x\ yf 9 z', peut se mettre sous la forme

222. — Plan de contact relatif à un point — Par un point extérieur à une surface, on peut mener une infinité de plans tangents à cette surface ; l'enveloppe de ces plans est un cône circonscrit à la surface. Si #,y,z est un point de contact de ce cône, le plan tangent à la surface doit passer par le point considéré x',y',z!; on a donc les équations

pour déterminer la courbe de contact.

Il résulte de là, que pour une surface du second degré, la courbe de contact relative à un point est dans un plan dont l'équation s'obtient en écrivant l'équation du plan tangent comme si ce point était sur la surface.

223. — Classe d'une surface. — Par une droite on peut mener un nombre limité de plans tangents à une surface ; ce nombre définit ce qu'on appelle la classe de la surface.

Il est facile de déterminer quelle est , en général , la classe d'une surface de degré m. Les plans tangents qu'on peut mener à cette surface par une droite donnée sont, en effet, les plans tangents menés par cette droite au cône ayant pour sommet un de ses points et circonscrit à la surface. Mais le cône circonscrit à une surface a pour directrice la courbe de contact relative à son sommet, courbe qui résulte de l'intersection de la surface proposée par la surface représentée par l'équation

Cette équation est du degré m — 1 , la directrice du cône est donc en général du degré m(m — 1), et par suite il en est de même du cône.

Or le nombre des plans tangents que l'on peut mener à un cône du degré m(m — 1) par une droite passant par son sommet est

218 UVBJB IV. — CHAP. 1.

égal au nombre de tangentes que Ton peut mener d'un point à une courbe plane du môme degré* Le nombre cherché, et par suite » la classe d' une surface de degré m est donc, en général,

224. — On appelle plan polaire d'un point par rapport à une surface du second degré, le lieu de son conjugué harmonique, sur les sécantes menées de ce point, par rapport à leurs points d'intersection avec la surface.

Inversement un point est le pôle de son plan polaire.

Théorème I.

ls plan polaire d'un point par rapport à une surface du second degré, est le plan de contact relatif à ce point.

Gela résulte immédiatement de ce que, si par le point considéré on mène un plan quelconque, l'intersection du lieu cher-* ché par ce plan est la corde de contact relative au point par rapport à la section.

On peut encore démontrer ce théorème par le calcul suivant, analogue à celui qui a été employé en géométrie plane :

Soit f(x 9 y,z)=zo l'équation de la surface: XoMA te pûin considéré P. Par le point P on mène une sécante quelconque dont les équations sont

La valeur commune r de ces trois rapports exprime comme on sait la distance d'un point quelconque x,y,z de la sécante au point # , y , *„, ou P. Si x 9 y, z désignent en particulier les

PÔ1ES Et PLANS t>OUlH£S. îlô

points de rencontre de la sécante avec la surface, on aura

A*o>y > 'J+W. + P/V + ïf. )r + Ar»==o,

À étant une fonction de a,p, y. Cette équation donne les distances r\ r" du point P aux points de rencontre de la sécante avec la surface* Mais si r désigne la distance du point P au point du lieu situé sur la sécante, on a

et par suite,

r /K>yo>*o)

Comme le point du Heu est situé sur la sécante, on a a? =x — a? , pr=sy— y , yt^z — z > et par suite l'équation du lieu est

Si Ton introduit dans la fonction f la lettre t f qui rend cette fonction homogène et que nous supposerons égale à 1 , on a , d'après le théorème des fonctions homogènes,

*<A + »</', + *oA + hf't = *A*o> y > *o)«

Si l'on substitue dans l'équation précédente, elle devient

*r. + yf, + «A + tr, = o, (i)

ce qui prouve que le lieu cherché, ou le plan polaire du point P, est bien le plan de contact relatif à ce point.