Le pôle d'un plan dont l'équation est

Aff+By-|-C:z-fD = o

220 UTRB IV. — CHAP. I.

est le point a? ,yo,s dont le plan polaire a pour équation Téquation précédente; mais, comme le plan polaire du point a?.,y ,z„ est représenté par l'équation (1), l'identification donne, pour déterminer x 09 y >Zoi les trois équations du premier degré

Théorème D.

226. — Le plan polaire d'un point par rapport à une surface à centre est parallèle au plan diamétral conjugué du diamètre qui passe par ce point, et ce diamètre est moyen proportionnel entre les distances du centre au pôle et à son point de rencontre avec le plan polaire.

Ce théorème résulte immédiatement du théorème analogue en géométrie plane par des considérations identiques à celles qu'on a employées au commencement du n° 224.

Il résulte de là que, dans le cône, un point a pour plan polaire le plan diamétral conjugué du diamètre qui passe par ce point ; par suite, si un angle trièdre ayant pour sommet le somrmet d'un cône est réciproque, c'est-à-dire tel qu'un point d'une arête ait pour plan polaire la face opposée, les trois arêtes de ce trièdre formeront un système de diamètres conjugués du cône*

Si l'on coupe un cône par un plan, les points déterminés par ce plan sur un angle trièdre réciproque par rapport au cône, seront les sommets d'un triangle réciproque par rapport à la section.

Réciproquement, les trois droites qui joignent un point quelconque aux sommets d'un triangle réciproque par rapport à une conique, forment un angle trièdre réciproque par rapport au cône ayant même sommet et ayant pour base laconique considérée. Par conséquent, ces trois droites forment un système de diamètres conjugués du cône.

227. — Dans les surfaces dépourvues de centre, le plan polaire d'un point est parallèle au plan tangent à la surface au point où elle est rencontrée par la parallèle à Taxe menée par le point considéré, et le point de contact est, sur cette droite, à égale distance du pôle et de son plan polaire. Gela résulte de ce que tout plan mené par la parallèle à Taxe qui passe par le pôle, coupe la surface suivant une parabole.

228. — De la définition même du pôle et du plan polaire, il résulte que le pôle d'un plan passant par un point est sur le plan polaire de ce point, et que, réciproquement, le plan polaire d'un point situé sur un plan passe par le pôle de ce plan.

Théorème m.

Si par un point p on mine une sécante quelconque, les plans tangents à la surface aux points où elle est rencontrée par la sécante, se coupent suivant une droite située dans le plan polaire du point p.

Si, par la sécante, on fait passer un plan quelconque, son pôle sera, en effet, situé sur l'intersection des deux plans tangents, puisque c'est le sommet du cône circonscrit à la surface suivant là courbe d'intersection ; et, d'après ce qui précède, ce point est situé sur le plan polaire de p.

Théorème IV.

229. — Lorsqu'un plan tourne autour <£une droite A, son pôle décrit une droite B.

Soient, en effet, p et g deux points de A ; leurs plans polaires P et Q se coupent suivant une certaine droite B ; un plan quelconque passant par A contient les deux points p et q, son pôle est donc à la fois situé sur les plans P et Q, et par suite sur leur intersection B.

Réciproquement^ si un point décrié une droite B, son plan polaire passe par une droite fixe A.

La droite B étant l'intersection des deux plans P et Q, le plan polaire d'un quelconque de ses points passe, en effet, par les pôles p et q de ces plans, et par suite par la ligne À qui les joint.

Les deux lignes À et B, telles que les plans polaires des points de chacune d'elles passent par l'autre, sont dites conjuguées. Chacune d'elles est la corde de contact des plans tangents menés par l'autre à la surface, parce que ces plans sont les plans polaires de leurs points de contact,

Théorème V.

230. — Si A et Bsont deux droites conjuguées, chacune d'elles est dans le plan diamétral conjugué à la direction de T autre*

La droite B est, en effet, située dans }e plan polaire du point situé à l'infini sur la droite A, et ce plan est le plan diamétral conjugué de la direction de cette droite.

Théorème VI.

231, —Si une transversale rencontre deux droites conjuguées A et B aux points a et b, les points m et m\ où elle perce la surface, sont conjugués harmoniques par rapport à a et b.

•Ce théorème résulte de ce que le plan polaire du point a contient la droite B et, par suite, le point fc*

Théorème VII.

232. — Si deux plans PetQse coupent suivant une droite A, il y a deux points qui ont même plan polaire par rapport à la surface et par rapport au système des deux plans. Ces deux points sont situés sur là droite B conjuguée de A par rapport à la surface.

Si un point m a même plan polaire par rapport à !a surface et au système des deux plans, son plan polaire passera par la droite A* et par suite ce point sera situé sur la droite conjuguée de A par rapport à la surface. Pour qu'un point de cette droite B ait même plan polaire par rapport à la surface et au système des deux plans, il faut et il suffit qu'il ait même conjugué harmonique par rapport aux deux points d'intersection de B avec la surface et par rapport aux deux points d'intersection de la même droite avec les plans P et Q ; or il n'existe sur B que deux pareils points, qui sont les points doubles de l'involution ayant pour pointa conjugués les deux points d'intersection avec la surface, et aussi les deux points d'intersection avec Pet Q.

Théorème Vffl.

233. — Par l'intersection d'une surface du second degré et de deux plans, on peut faire passer deux cônes du second degré 9

Si un cône passe par l'intersection de la surface et des deux plans, son sommet a même plan polaire par rapport à la surface et par rapport au système des deux plans ; car toutes les génératrices du cône coupent la surface et le système des deux plans aux mêmes points, et, par suite, rencontrent les plans polaires du sommet, par rapport à la surface et par rapport au système de sdeux plans, aux mêmes points; d'où il résulte que ces plans se confondent.

Si donc on peut faire passer des cônes par 1* intersection considérée, ils auront pour sommets les deux points que nous avons déterminés dans le numéro précédent. Mais il est facile de voir que le cône qui a pour sommet l'un de ces points, et pour base l'intersection de la surface par l'un des plans, passe par l'intersection de la surface et de l'autre plan. En effet, le second point d'intersection d'une génératrice quelconque de ce cône avec la surface, et le point d'intersection de cette génératrice

avec le second plan, sont tous deux le conjugué harmonique du premier point d'intersection avec la surface, par rapport au sommet et au point d'intersection avec le plan polaire . de ce sommet.