Soient

les équations des droites OA, OB; celles des droites OC, OD sont delaforme

a— AP=o, a— #p = o,

et le rapport anharmonique du faisceau a pour expression

Si l'on suppose que les quatre droites forment un faisceau harmonique, on a

et, par conséquent, les droites OC, OD ont pour équations

a— Ap = o, a — &p = o.

Ces deux droites ÔC, OD qui déterminent sur une sécante quelconque deux points c, d, conjugués harmoniques des points a, 6, sont dites pour cette raison conjuguées harmoniques par rapport aux droites OA, OB.

Les équations des droites^pC , OD montrent que si Tune de ces droites est bissectrice de l'angle AOB, l'autre est bissectrice de l'angle supplémentaire, et fait par suite un angle droit aveu la première.

Théorème I.

18. — Chaque diagonale d'un quadrilatère complet est divisée harmoniquement par les deux autres*

RAPPORT ANHARMOMQUE. 17

On appelle quadrilatère complet un système de quatre droites indéfinies, qui se coupent.

Le quadrilatère Complet formé par les droites 06, oi,, ad, bc

(fig. 7), a pour diagonales les trois lignes oft, ac, bd. Il s'agit de démontrer que les points h et g, où la diagonale bd est coupée par les deux autres, sont conjugués harmoniques par rapport aux points b et d, ou que les quatre droites 06, oh, od, og forment un faisceau harmonique.

Fig. 7.

Soient

les équations des droites 06, oc, ac ; et

l'équation de la droite bd.

L'équation de la droite og, qui passe par le point b, intersection des droites ob et od, et par le point g, intersection des droites ac et bd; est évidemment

Pour trouver l'équation de la droite oh, remarquons que cette droite passe par le point k, intersection des droites ad et 6c, qui ont pour équations

a + »T==o et mp-j-nY=o.

Ces dernières équations, retranchées membre à membre, donnent l'équation

«•— fwB =

qui représente une droite passant par le point Jfc et aussi par le point ; c'est donc l'équation de la droite oh.

pvai i» — ch^p, i.

Les équations (1) et (s) représentent des droites conjuguées harmoniques par rapport aux droites çb et çd. Donc les points h et g sont conjugués harmoniques par rapport aux points b et d.

19. — Il résulte du théorème précédent un procédé géométrique simple pour construire le conjugué harmonique d'un point donné c par rapport à deux autres points donnés a et 6,

On joint les points a , c , 6 à un point quelconque (fig. 8) ;

on prend sur oc un point quelconque e ; on mène la droite ae qui coupe 06 en f, la droite be qui coupe oa en g : le point d, a c d où la droite g/rencontre la droite

Fig. 8 . a&> est le point cherché.

En effet , la droite ab est une diagonale du quadrilatère complet agofbe, et, par conséquent, elle est divisée harmoniquement par les deux autres diagonales, oc, gd.

20. — Si Ton remarque que les droites oc, af, bg sont trois droites menées par les sommets du triangle aob et se coupant en un même point 0, on est conduit, par ce qui précède, aux théorèmes suivants : •

i° Si Ton remplace Vun des points c, /, gr, par exemple c,

h par son conjugué d, les trois points d, f, g sont en ligne droite (fig. 9) .

2 Si l'on remplace dans des points c, /*, g, par exemple c et g, par leurs conjugués harmoniques, d et ft, les droites qui joignent les trois points /, d, h aux trois sommets du triangle se rencontrent en un même point fc.

Soient , en effet ,

Fig. 9. .

les équations des trois côtés ab, aq et bo

RAPPORT ANIIARMOKIQUE. IV

du triangle ; les droites af, oc, bg seront représentées par le système d'équations

équations dans lesquelles a, 6, c sont des paramétres arbitraire^, et les droites af 9 od, et bh, par le système d'équations

système qui montre que ces droites se coupent en un même point.

3* Si Ton remplace les trois points c, f, g par leurs conjugués harmoniques <f , I, A, ces trois points «ont en ligne droite.

Gela résulte immédiatement des deux théorèmes précédents.

SYSTÈMES HOMOGRAPHIQCE8 ET IW0U3T10N.