CORRÉLATION DES FIGURES DANS L'ESPACE
284. — Surfaces polaires réciproques. — Si Ton prend les plans polaires des différents points d'une surface, par rapport à une surface du second degré, ces plans envelopperont une surface qui est dite la surface polaire de la surface considérée.
Une surface et la surface polaire correspondante sont réciproques, c'est-à-dire que si A a pour surface polaire B f réciproquement B a pour surface polaire A. Si nous prenons, en effet, trois points sur A, à ces trois points correspondent trois plans tangents à B, qui sont les plans polaires de ces trois points ; l'intersection de ces trois plans aura pour plan polaire le plan des trois points. Mais si ces trois points se rapprochent indéfiniment, leur plan devient un plan tangent à A ; en même temps, les trois plans tangents à B se rapprochent aussi indéfiniment, et leur point d'intersection devient un point de B qui aura, par suite, pour plan polaire un plan tangent à A ; A est donc la surface polaire de B.
235. — Lignes conjuguées. — Dans une courbe donnée A inscrivons une ligne polygonale, et prenons les droites conjuguées des différents côtés ; ces droites se couperont aussi deux à deux et formeront une seconde ligne polygonale, qui aura pour limite une courbe B, quand on augmentera indéfiniment le nombre des côtés. Les deux courbes A et B dont les tangentes sont conjuguées sont dites elles-mêmes des lignes conjuguées.
Chaque point de la courbe A a pour plan polaire le plan osculateur à la courbe B, ou le plan tangent à la surface développable dont la courbe B est l'arête de rebroussement.
Considérons la ligne d'intersection A de deux surfaces ; chaque point commun aux deux surfaces a pour plan polaire un plan tangent commun aux deux surfaces polaires réciproques ; ces plans tangents communs enveloppent la surface développable dont l'arête de rebroussement est la courbe B conjuguée de A. Lorsque plusieurs surfaces passent par une même ligne A, leurs surfaces polaires sont inscrites dans une même surface développable ayant pour arête de rebroussement la ligne conjuguée B.
Supposons que la ligne A soit plane et située dans le plan P ; les droites conjuguées des tangentes à la courbe A passeront toutes par le pôle p du plan P et formeront autour de ce point une surface conique. Dans ce cas la ligne conjuguée B se réduit à un point p.
Lorsque deux surfaces se coupent suivant une ligne plane A, les surfaces polaires sont inscrites dans une même surface conique.
236. — Étant données deux surfaces polaires réciproques, la classe de Vune est égale au degré de Vautre. En effet, soit m le degré de la première surface ; une droite quelconque A la rencontre en m points ; à ces m points correspondent m plans passant par la droite conjuguée B et tangents à la seconde surface. Réciproquement chaque plan passant par la droite B et tangent à la seconde surface correspond au point de la première surface situé sur la droite A.
Une surface du second degré, étant de la seconde classe, admet pour surface polairç réciproque une surface du second degré.
237. Propriétés corrélatives. — Lorsqu'une proposition sur des lignes et surfaces aura été démontrée, et qu'il n'entrera dans son énoncé que des relations de position, ou des rapports anharmoniques, en prenant les figures polaires réciproques, on sera conduit à un nouveau théorème, qui sera dit le corrélatif du premier*
