CHAPITRE II

238, — Transformations holographiques, — Le mode de transformation des figures, que nous avons étudié dans la première partie sous le nom d'homographie, s'applique encore aux figures dans l'espace. Dans ce mode de transformation, les coordonnées d'un point x\ y', V de la figure transformée, qui correspond à un point x 9 y, z de la figure proposée, sont données par des expressions de la forme

dans lesquelles L, M, N, P désignent des fonctions linéaires des quantités x 9 y, z. De sorte qu'à une surface quelconque correspond une surface de même degré, la transformation ne pouvant ni élever ni abaisser le degré.

Dans ce mode de transformation , toutes les propriétés descriptives de la figure proposée subsistent évidemment dans la figure transformée. A un système de points en ligne droite, correspond un système de points en ligne droite et homographiques, de sorte que toutes les propriétés métriques qui ne dépendent que du rapport anharmonique subsistent encore dans la figure transformée.

Dans la transformation générale entrent quiiize coefficients distincts; on pourra donc se donner arbitrairement onze conditions auxquelles doit satisfaire le système transformé. C'est l'introduc-

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tioo de ces conditions arbitraires dans la figure transformée qui permet à l'homographie de simplifier les théorèmes en réduisant la démonstration à des cas particuliers qui suffisent, d'après la théorie que nous venons d'indiquer, pour démontrer le théorème dans toute sa généralité. Par exemple, s'il entre dans la figure primitive une surface du second degré et un système quelconque de points, de droites et de plans, on pourra faire correspondre à la surface une surface quelconque du second degré, et en même temps faire correspondre à deux points quelconques de la première figure deux points quelconques de la seconde. En particulier, on peut faire correspondre à là surface une sphère.

239. — Comme exemple des transformations homographiques, prenons ce théorème de géométrie :

Dans une sphère, le lieu des milieux des cordes passant par un point fixe est une sphère passant par ce point et le cercle de contact relatif à ce point.

Si on le transforme homographiquement, en ayant soin de remarquer que deux sphères se coupant suivant deux plans dont l'un est à l'infini, et en remarquant en outre qu'à l'infini correspond un plan dans la figure transformée, et que par suite au milieu d'une corde correspondra dans la figure transformée le conjugué harmonique du point de rencontre de la corde correspondante avec le plan qui correspond à l'infini, on aura le théorème suivant :

Le lieu des points conjuguées harmoniques, par rapport à une surface du second degré, des points de rencontre avec un plan fixe des sécantes passant par un point donné, est la surface du second degré passant par le point donné et coupant la première suivant deux courbes planes, dont les plans sont le plan polaire du point donné et le plan fixe.