SUR UN SYSTÈME PARTICULIER DE COORDONNÉES

240, — Dans toutes les questions où entrent des systèmes de

diamètres conjugués d'une surface, l'homographie, en permettant de remplacer cette surface par une sphère, introduira des simplifications notables dans la solution de la question. Il est un moyen bien simple d'effectuer cette transformation, qu'on peut employer dans ces sortes de questions, comme artifice de calcul, sans parler de l'homographie. Si la surface, dans laquelle on a à considérer des systèmes de diamètres conjugués, est un ellipsoïde, et que l'on prenne pour axes des coordonnées ses propres axes, son équation est de la forme

Nous transformerons cet ellipsoïde en sphère par les formules homographiques

x =s aa/ t y = bj/ 9 z = crf,

et la sphère correspondante aura pour rayon l'unité. Les coordonnées d'un point quelconque de cette sphère seront donc les cosinus des angles que fait avec les axes coordonnées le diamètre passant par ce point. Si l'on ne veut pas parler de l'homographie, on peut se contenter de dire que x' 9 y', d sont un système particulier de coordonnées dans lequel les conditions qui expriment que les diamètres qui passent par trois points de la surface sont conjuguées, sont les relations qui expriment que les nouvelles coordonnées de ce point sont les cosinus des angles que font avec les axes trois directions rectangulaires. Voici quelques exemples de l'emploi de ces coordonnées.

Problème.

2 Al. — Trouver* le lieu des sommets des trièdres dont les faces sont parallèles à un système de plans diamétraux conjugués d'un ellipsoïde À et tangentes à un second ellipsoïde B. {Concours général, 1860.)

HOMOGRAPHIE. 229

Prenons pour axes des coordonnées les axes de l'ellipsoïde À et soit alors

son équation. Soient a', 6', c' les axes de l'ellipsoïde B,

X = ox' + ay + a%

(i) y = P*'+PV+ P%

^ = ï*' + ïV + ï%

les formules de transformation qui servent à passer des axes que nous avons choisis à ceux de B.

Nous prendrons pour coordonnées d'un point les quantités X, (x 9 y unies aux coordonnées anciennes par les relations

x = àk, y = ôp., z = cv,

Si X, |x, v; X', |x f , v'; X", jx", v"sont les coordonnées des extrémités de trois diamètres conjugués de A, il y aura entre ces quantités les six relations qu'il y a entre les cosinus de trois directions rectangulaires. Les plans tangents à A aux trois points considérés sont parallèles à un système de plans diamétraux conjugués de cet ellipsoïde. Les plans tangents à B parallèles à ces plans ont pour équations

X x uv V z #

abc

Wx W'v v"z /

abc 1

L, M, N, étant les coefficients de x\ j/\ a* dans le premier membre de la première de ces équations , lorsqu'on y substitue les valeurs de x> y, z fournies par les relations (i) ; et de même pour

L', M', ..... On a donc

a b c abc a b ' c

Li V* i ,,'^xvl M' N' —

L'-rU^+v"^]»^ , N"*=

Si Ton ajoute les équations (2) élevées respectivement au carré, il vient, en tenant compte des relations qui existent entre les paramètres X, p, v,

^ + ^ + !!- a .^ + P! + ï , Ué^- + ^ +

/a" s p"* y WÎ \

C'est r équation du lieu cherché qui est un ellipsoïde semblable à l'ellipsoïde À.

Remarque. —Les équations (1), jointes aux relations qui existent entre les paramètres ne font que neuf équations, et comme il y a neuf paramètres, il semble au premier abord que le sommet du trièdre est arbitraire ; mais ces équations ne sont compatibles qu'autant que l'équation que nous avons obtenue pour le lieu cherché est remplie, et alors on voit que chaque point du lieu est le sommet d'une infinité de trièdres satisfaisant aux conditions de l'énoncé.

Le nombre de conditions que fournit l'énoncé semble donc, à priori, indiquer qu'un point quelconque de l'espace fait partie du lieu ; l'existence du lieu est due à une particularité analytique des équations qui expriment ces conditions. Il serait donc plus exact de poser la question comme un théorème que comme un problème. La même particularité se présentera dans l'exemple suivant.

HOMOGRAPHIE* 231

Problème.

242. — Par un point d'une surface du second degré, on mine trois droites parallèles à un système de diamètres conjugués d f un ellipsoïde, et par les seconds points d'intersection de ces droites avec la surface on fait passer un plan. Ce plan passe par un point fixe.

Prenons pour origine le point fixe, que nous pouvons supposer être en même temps le centre de l'ellipsoïde, puisque d'après l'énoncé on peut déplacer cet ellipsoïde parallèlement à luimême sans changer le lieu. Prenons aussi pour axes de coordonnées les axes principaux de l'ellipsoïde.

Pour résoudre la question, nous couperons la surface par un plan

(i) 0-|-py-firz = 8,

et nous chercherons la relation qui doit exister entre les coefficients de cette équation, pour que le cône, ayant pour sommet l'origine et pour base la section faite par le plan dans la surface considérée, contienne les extrémités de trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde, points qui seront représentés par les coordonnées nouvelles X, p, v; X', f/, v'; X", jx", v". Soit

S ss kx* -f Ay + k"z * + aByz + aB's* -f %Wxy + aC# + aC'y

+ aG*z = o

l'équation de la surface. Le cône, passant par l'intersection de cette surface et du plan représenté par l'équation (i) , a une équation de la forme

(a) S-f- 2(a# -f- py + Y z — o)(»iff+ny-|-iw+?) = o,

et comme il a pour sommet l'origine, cette équation doit être

homogène, de sorte que

9 =o, mo = C, nt = G, p8 = C".

Si Ton substitue les valeurs de m, n, p, ç dans l'équation (a), on a pour Y équation du cône

(a + aC ~) ** + (A'+ aG'?) y 8 + (a" + aC" |) *» + = o,

et pour que les extrémités de trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde soient situées sur ce cône, il faut que l'on ait

(A+aC|)a»X« -f^A'+aC'^AV +(a''+ 2 C''|)cV +... =«,

(3) (A+2C?) aV + (*+»? |) i V 1 + (A"+aC"0cV« f... = o,

(A+aC jj) aV+ (A'+aff R «VM- (A'+aC'^VM-... =o,

les paramètres qui entrent dans cette équation, étant unis par les six relations distinctes qui existent entre les cosinus des directions des trois droites rectangulaires. Au premier abord, il semble que ces six relations jointes aux trois équations (3), déterminent les paramètres variables, et que t par conséquent, quel que soit le plan représenté par l'équation (*), il y a toujours un système de trois génératrices du cône parallèle à un système de diamètres conjugués de l'ellipsoïde. Mais si l'on ajoute les trois équations (3) , en tenant compte des six relations qui existent entre les paramètres variables, il vient simplement

(4) (A+ aC jy + (à'+ •(? !)*»+ (A"+ aC" |) c« = o.

Pour qu'il y ait un système de diamètres conjugués de l'ellipsoïde qui soient des génératrices du cône, il faut donc qu'il

HOMOGRAPHIE. 233

y ait, entre les coefficients de l'équation de ce cône, la relation (4) ; et alors, dès que deux diamètres conjugués de l'ellipsoïde sont situés sur le cône, le troisième l'est aussi.

L'équation (1), jointe à la relation (4), représente tous les plans cherchés, leur équation générale est donc

(à + aC ' ) a« + (â' + aC' ■ l , ) b*

ou bien

a[Dx+ aCa*) + ?(Dy + aC'é») + T (Ds+ aCV) = o,

en posant pour abréger l'écriture

DaA^ + A'l' + AVi

De là résulte que tous les plans cherchés passent par le point fixe dont les coordonnées sont

Gomme, du reste, l'équation de ces plans contient deux paramètres arbitraires et que par conséquent on peut faire passer un plan du lieu par deux points arbitraires, le lieu des plans se compose de tous les plans passant par le point fixe dont nous ayons déterminé les coordonnées. Il est facile de vérifier avec les valeurs de ces coordonnées que ce point est sur le diamètre conjugué dans l'ellipsoïde au plan tangent à la surface à l'origine. Cela résulte encore immédiatement de ce que si l'on prend tous les systèmes de diamètres conjugués de l'ellipsoïde composés de ce diamètre et de deux diamètres conjugués dans la section faite par le plan tangent dans l'ellipsoïde, les plans correspondants passent par cette droite.

243. — Il arrive souvent que l'énoncé d'une question présente une certaine symétrie par rapport à quatre plans convenablement choisis. On introduit alors beaucoup de symétrie dans les calculs, et quelquefois des simplifications très- grandes, en substituant aux coordonnées ordinaires #, y, z de nouvelles coordonnées déterminées par ces quatre plans dont nous représenterons les équations par

Posons pour un instant

nous avons ainsi trois équations du premier degré en x> y, z. Si on les résout par rapport à ces quantités, on obtiendra pour valeurs de #, y, z des rapports de fonctions linéaires de a, 6, c à une même fonction linéaire de ces quantités» et, parla substitution dans une équation , on obtiendra une équation du

même degré en a, &, c; remplaçant alors a, 6, c par^, je, i-, on

aura une équation homogène en a, (ï, y, 8. Ces quantités sont dites des coordonnées homogènes^ quoiqu à justement parler on ne puisse considérer comme coordonnées nouvelles que les rapports de trois d'entre elles à la quatrième.

Ceci n'est que l'extension à la géométrie à trois dimensions des coordonnées trirectilignes en géométrie plane, et l'interprétation de ces coordonnées est la même ; a, fî, y» 8. représentent, à un facteur constant près , les distances du point dont elles sont les coordonnées aux quatre faces du tétraèdre des coordonnées, c'est-à-dire du tétraèdre formé par les quatre plans proposés.

HOMOGRAPHIE. 235

Les coordonnées a, 6, c, ou =■ , Ç > J- déterminent les po-

OOÔ.

sitions de trois plans passant par trois des arêtes du tétraèdre. Ce sont ces trois plans qui , par leur intersection , déterminent le point.

Théorème.

244, — Si a, p, y, 8 représentent des fondions linéaires fco* ' mogènes des variables x, y, z, t et que <p (x, y, z, t) soit ce que devient la fonction homogène f (a, (J, y, 8) par la substitution des valeurs de a, (3, y, 8 en x, y, z, t, on a identiquement

*v,+yv y + = «r a +pr p +

a', (?,... étant ce que deviennent a t (î... guand on y citante z» y,...

On a, en effet, d'après le théorème des fonctions de fonctions,

• ?;=rA«+r p D^ + ,

Si Ton ajoute ces équations, après les avoir multipliées respectivement par a/, y',... et qu'on remarque que

puisque D» a est égal au coefficient de x dans a, D„a au coefficient de y etc. , on a identiquement

** m +M y + =«r a +pf p +

II résulte de là qu'en coordonnées homogènes le plan polaire

du point a', (3\ y, 8' a pour équation ou encore

L'utilité des coordonnées homogènes ressort immédiatement de celle des coordonnées trirectilignes en géométrie plane ; nous nous contenterons donc de donner un exemple de l'emploi de ces coordonnées.

Problème.

245. — Trouver le lieu d'une droite mobile qui reste tangente à \e surface de second degré et qui s'appuie sur deux droites fixes

m * it .1»

une

tangentes à cette surface.

Soient A et B (fig. 1 14) les deux tangentes fixes, a et 6 leurs

points de contact , C la ligne qui joint ces points. Menons les plans tangents en a et 6 à la surface et soient d et c les points où ces plans rencontrent les droites B et A. Prenons pour tétraèdre des coordonnées le té- "b traèdre ayant pour sommets les points a, h

c, d. Soient a=o, p=o, *=o, 8=o, les équations des faces respectivement opposées aux sommets a, 6, c, d. La droite A aura pour équations

et la droite B

L'équation de la surface est de la forme

À* 1 + A'p* + AY + A"V + aB«p + aB'aï + aB"a$ -f aB"fr

-f aB ,T p8 + 2B t t8 = o.

HOMOGRAPHE. 287

Exprimons que la surface est tangente, en a au plan j3=o, en 6 au plan a = o. Le point a a pour coordonnées p=o, y=o, 8=0; le plan tangent à la surface en ce point a donc pour équation

- fa * Aa + Bp -f B' T + B"8 = o .

Gomme cette équation doit se réduire à fJ= o , on a

En exprimant que la tangente en b est a = o, on trouve de même

L'équation de la surface est donc de la forme

S = M T * + MV + aPaP + aF-tf = o.

Dne droite du lieu, rencontrant les droites À et B, est représentée par les équations

Nous obtiendrons les points où cette droite rencontre la surface en remplaçant dans l'équation de la surface a et p par leurs valeurs, ce qui donne

m t * + 2 (pv + f)t* + uv == o.

La droite sera tangente, si la condition

(PXji + P') f — MM' = o, ou

pxp + p' ;« ± vfôSF

est remplie.

On en déduit l'équation du lieu

qui peut s'écrire

Cette forme montre que le lieu se compose de deux surfaces du second degré tangentes chacune à la surface donnée le long d'une courbe plane ; les deux plans des contacts, dont l'intersection avec la surface donne le lieu des points de contact de la tangente mobile, ont ponr équations

Chacun de ces plans passe par la droite C.