CHAPITRE III

Théorème» généraux sur les surfaces du second de«ré.

Théorème I.

246. Toutes les surfaces du second degré qui passent par huit points, ont, en général, une infinité de points communs situés sur une ligne à double courbure, intersection de deux quelconques S entre elles.

Il a, en effet, été démontré dans la Géométrie analytique, livre VI, chapitre VU» que par neuf points donnés on peut toujours faire passer au moins une surface du second degré, et qu'en général, on n'en peut faire passer qu'une. Il en résulte que par huit points on en peut faire passer une infinité. Soient alors S = o, S' = o deux d'entre elles ; l'équation

(1) S + AS'^o,

qui renferme un paramètre variable k , représentera toutes les surfaces passant par les huit points, puisqu'on peut toujours déterminer k de façon que la surface passe par un neuvième point. Or toutes les surfaces représentées par l'équation (1) passent par l'intersection des surfaces S = o, S' = o.

Lorsque neuf points déterminent une surface du second degré unique, ces neufs points sont dits distincts. Lorsque les neuf points ne sont pas distincts, c'est que, parmi les équarfons

qui expriment ces conditions, il y en a au moins une qui rentre dans les autres ; par conséquent, pour déterminer la surface, on peut alors se donner un dixième point arbitraire. De là résulte que toutes les surfaces qui passent par huit des neuf points donnés passent par le neuvième ; et par conséquent, lorsqu'une surface du second degré n'est pas déterminée par neuf points, c'est que ces neuf points sont situés sur une m$me ligne à double courbure, intersection de deux surfaces du second degré.

L'équation (i) cessera de représenter toutes les surfaces passant par les huit points, lorsque ces huit points, joints à un neuvième quelconque, seront situés sur une même ligne à double courbure, intersection de deux surfaces du second degré; c'est-à-dire lorsque toute surface passant par sept des points donnés passera par le huitième (nous verrons tout à l'heure que cela est possible) ; dans ce cas les huit points ne sont plus distincts.

Théorème corrélatif.

247. Toutes les surfaces du second degré qui sont tangentes à huit plans donnés, sont, en g énér al > enveloppées par une même surface développable.

Théorème D.

248. Toutes les surfaces qui passent par sept points donnés ont un huitième point commun.

Soient en effet S = 0, S' == 0, S" = o trois des surfaces passant par les sept points donnés. L'équation générale des surfaces passant par ces sept points est alors

S + fâ' + A'S ,/ =50 J

toutes ces surfaces passent par les points communs aux trois surfaces

et ces trois équations du second degré à trois inconnues ont en général huit solutions.

Ge théorème nous fait voir comment il peut se faire que huit points ne soient pas distincts.

En suivant bien attentivement la marche des idées dans ce qui précède, on voit aussi immédiatement la raison pour laquelle sept points sont toujours distincts.

Théorème corrélatif.

Toutes les surfaces du second degré qui sont tangentes à sept plans donnés, ont un huitième plan tangent commun.

249. — Nous verrons plus tard que les huit points communs à toutes les surfaces du second degré qui passent par sept points donnés sont les sommets de deux tétraèdres réciproques à euxmêmes par rapport k une même surface. Il en résulte, pour le théorème corrélatif, que, les huit plans tangents communs à toutes les surfaces du second degré tangentes à sept plans donnés sont les faces de deux tétraèdres réciproques à eux-mêmes par rapport à une même surface.

Théorème m.

250. Les plans polaires d'un point fixe, par rapport à toutes les surfaces du second degré qui passent par huit points donnés passent par une droite fixe.

Soient, en effet, P = o, P f = o les équations des plans polaires du point fixe par rapport à deux des surfaces S=o, S':=o

Î42 LÎVRË IV. — CËAP. IU.

passant pal* les huit pointu. L'équation générale des surfaces passant par les huit points est

S + AS' = o,

et par suite, l'équation du plan polaire du point fixe est

P + JfcP' = o.

Ce plan passe par la droite d'intersection des plans

Si le point fixe s'éloigne à l'infini dans une certaine direction, son plan polaire devient le plan diamétral conjugué de cette direction. Par conséquent

Dans toutes les surfaces du second degré qui passent par huit points donnés, les plané diamétraux conjugués d 'une direction donnée panent par une droite fim.

Théorème corrélatif.

S 51* Le lieu du pôle d* urt plan fixe par rapport à toum tes mrfaces du second degré tangenteê à huit plans donnée est une droite.

Si le plan se transporte à l'infini, son pôle par rapport à une surface est le centre de cette surface ; par conséquent

Le lieu des centres dés suffatts du second degré tangentes à huit plans donnés est une ligne droite.

Théorème IV.

252. Le plan polaire d'un point fixe par rapport à toutes Us w-

niques qui passent par sept points donnés passe par un point fixe.

Car le plan polaire d'un point fixe par rapport à ces surfaces dont l'équation est

S-f-AS'4-A f S ,, = o,

est évidemment

P+kP + kP'^o?

P = o, P' = o, F r = o étant les équations des plans polaires de ce point par rapport aux surfaces S = o, S' = o, S" = o.

Si le point s'éloigne à l'infini dans une certaine direction, son plan polaire devient le plan diamétral conjugué de cette direction; par conséquent

Dans toutes les surfaces du second degré qui passent par sept points donnés, les plans diamétraux conjugués d'une direction donnée passent par un point fixe.

Théorème eorrél&tlf.

253. Le lieu du pôle Sun plan fixe par rapport à toutes les surfaces du second degré tangentes à sept plans donnés est un plan.

Si le plan se transporte à l'infini» son pôle par rapport à une surface est le centre de cette surface ; par conséquent

Le lieu eu centre des surfaces du second degré tangentes à sept plans donnés est un plan.

254. — Des cônes qui passent par V intersection de deux surfaces du second degré. — L'équation générale des surfaces du second degré qui passent par l'intersection des deux surfaces S = o, S' = o est

Pour que cette équation représente un cône, il faut que son centre soit situé sur la surface ; on obtiendra la condition analytique correspondante en éliminant x, y, z entre l'équation (1) et les trois équations

( D.S + AD.S'^o, (a) j fyS + ÀfyS'^o,

Si Ton rend les fonctions S et S r homogènes à l'aide d'une quatrième variable t, on a identiquement

En vertu des équations (i) et (a), cette équation se réduit à (3) D,S-fAD t S' = o.

Les quatre équations (a) et (3) étant linéaires en x y y, z, le résultat de l'élimination sera une équation du quatrième degré en k. Ainsi :

Il y a généralement quatre cônes du second degré passant par t intersection de deux surfaces du second degré.

Théorème V.

255. — Les sommets des quatre cônes qui passent par f intersection de deux surfaces du second degré sont les sommets d'un tétraèdre réciproque, par rapport à chacune des surfaces du second degré qui passent par Tintersection des surfaces données.

On voit d'abord géométriquement que le tétraèdre formé par les sommets des quatre cônes est réciproque par rapport aux deux surfaces S et S\ et par suite par rapport à toutes les

surfaces

car chacune de ses faces est un triangle réciproque par rapport aux sections faites par son plan dans les deux surfaces.

Je dis maintenani que c'est le seul tétraèdre réciproque par rapport aux deux surfaces. Pour qu'un point x 9 y, z ait même plan polaire par rapport aux deux surfaces S et S', il faut que les deux équations

XDJ5 + YD V S + ZD.S + TD,S = o, XDJ5' + YD^S + ZD.S' + TD,S' = o

soient identiques, et par conséquent que l'on ait

Si l'on désigne par — h la valeur commune de ces rapports, les points cherchés seront donnés par les équations

D.S + AD^o, D,S + AD^S' = o, .

D S S + *D,S' = o, D l S + AD,S'==o;

ce sont donc les sommets des quatre cônes considérés. Ceci est encore une démonstration analytique de la réciprocité du tétraèdre considéré.

Théorème VI.

256. — Le lieu des sommets des cônes du second degré qui passent par ï intersection d'une surface du second degré donnée et d'un cône quelconque du second degré ayant pour sommet un point fixe, est le plan polaire de ce point.

Ce théorème est une conséquence immédiate de la proposition qui précède. On peut d'ailleurs le démontrer directement de la manière suivante :

Prenons pour origine le point fixe, et soit S =o l'équation de la surface. Soit S'=o l'équation d'un cône quelconque passant par l'origine. L'équation générale des surfaces du second degré passant par l'intersection de S et S' est

S + AS' = o.

La condition, pour que cette équation représente un cône, est le résultat de l'élimination de x, y, % entre les quatre équations

D.S + fcD.S^o, D v S + *D y S' = o, D S S + *D S S' = o, D,S =5= o,

et le sommet du cône sera donné par les valeurs de x 9 y, z satisfaisant à ces quatre équations. Il en résulte immédiatement que le lieu de ce sommet est

c'est-à-dire le plan polaire de l'origine.

DES SURFACES PASSANT PAR HUIT POINTS OU TANGENTES A HUIT PLANS ET ASSUJETTIES A UNE NEUVIÈME CONDITION.

257. — Net^f points ou neuf plans tangents. — De ce que nous avons établi au commencement de ce chapitre il résulte que par neuf points non situés sur une même ligne à double courbure, intersection de deux surfaces du second degré, on peut toujours faire passer une surface du second degré, et on n'en peut faire passer qu'une seule.

On peut toujours mener une surface du second degré tangente

à neuf plans donnés, pourvu que ces neuf plans ne soient pas tangents à une même surface développable enveloppant deux surfaces du second degré, et on n'en peut mener qu'une seule.

Dans les cas que nous avons écartés, les deux problèmes présentent une infinité de solutions.

> 258, — Huit pointé et un plan tangent ou inversement. — Lacon- ^tion qui exprime qu'un plan est tangente la surface S+K.S'=o, étant du troisième degré en K, il y a trois surfaces passant par huit points et tangentes à un plan, ou inversement tangentes à huit plans et passant par un point.

De simples considérations géométriques conduisent encore à ce résultat. Un plan tangent à une surface est un plan coupant la surface suivant deux droites réelles ou imaginaires. Or le plan donné coupe la courbe commune à toutes les suraces passant par les huit points en quatre points réels ou Imaginaires a, 6, c, d. Si la surface est tangente au plan, elle sera coupée par ce plan suivant un des trois systèmes de droites passant par ces points, et le point de contact sera l'un des sommets de ces systèmes de droites, c'est-à-dire un des sommets du triangle réciproque par rapport à toutes les coniques passant par les quatre points a, 6, c, d» Gomme il est évident que les surfaces passant par les huit points donnés et un de ces points sont coupées par le plan donné suivant deux droites, il y a trois surfaces passant par les huit points et tangentes au plan donné. Les points de contact sont les sommets du triangle réciproque par rapport à toutes les coniques passant par les points a, &, c, d, et en particulier par rapport aux coniques suivant lesquelles sont coupées par le plan les quatre cônes passant par l'intersection de toutes les surfaces qui passent par les huit points. Les lignes qui joignent le sommet de l'un de ces cônes aux trois points de contact forment donc un système de diamètres conjugués du cône.

259, — Si l'on dopne le çeptre d'upe surfaçç et les sections

248 LIVRE IV. — CHAP. lu.

circulaires faites par des plans diamétraux, cela revient à se donner l'intersection de la surface et d'une sphère

# 1 + y f + zt — r t K=zo 9

ou huit points ; il y a donc trois surfaces assujetties à ces conditions et tangentes à un plan donné.

Gomme l'équation générale des surfaces assujetties aux conditions initiales est, si Ton désigne par S= o l'équation de l'une d'elles,

une quelconque passe par l'intersection du cône de révolution imaginaire

et de la surface

S — kr*=:o;

le cône représenté par l'équation (1) est donc un des quatre cônes qui figurent dans le numéro précédent, et comme ses diamètres conjugués sont rectangulaires, les lignes qui joignent le centre donné aux trois points de contact sont rectangulaires.