DSS SURFACES DU SECOND DEGRÉ DOUBLEMENT TANGENTES

260. — On a démontré dans la Géométrie analytique, liv. VI, chap. Vil, que quand deux surfaces du second degré se touchent en deux points, elles se coupent suivant deux courbes planes* Par conséquent si l'une d'elles a pour équation S = o, l'autre aura pour équation S + fcajî = o, a = o , fï = o, désignant les plans des deux courbes.

Il est d'ailleurs évident que, réciproquement, deux surfaces

dont la ligne d'intersection se compose de deux courbes planes sont doublement tangentes aux deux points où l'intersection de ces plans rencontre les surfaces.

Si nous transformons la figure par les polaires réciproques, à deux surfaces doublement tangentes correspondront deux surfaces doublement tangentes, et il existe deux cônes enveloppant ces deux surfaces.

Les quatre points qui ont même plan polaire par rapport aux deux surfaces, sont évidemment dans ce cas les deux points de contact et les sommets des deux cônes passant par la courbe d'intersection des surfaces.

261. — Si deux surfaces du second degré en coupent une troisième suivant la même courbe plane, elles se couperont évidemment suivant deux courbes planes, dont l'une sera la courbe commune aux trois surfaces; le plan de l'autre passera par l'intersection des plans des secondes courbes d'intersection des deux premières surfaces avec la troisième; car les deux premières surfaces ont des équations de la forme

S + ap = o, S-|-«1f = o,

et par suite elles se coupent suivant deux courbes planes , les plans de ces courbes ayant pour équations

262. — Deux surfaces du second degré bomothétiques ont dans leurs équations mêmes termes du second degré. Si l'équation de l'une est S = o, l'équation de l'autre sera donc de la forme S -f- a = o, a étant du premier degré. Par suite deux surfaces du second degré homothétiques se coupent suivant une courbe plane. Comme l'intersection de deux surfaces est en général une courbe du quatrième degré, dans ce cas, les coefficients des

250 UVBB IV. — GHAÈ% III.

termes du quatrième et du troisième degré sont nuls, et ou peut dire que les surfaces se coupent suivant deux courbes planes, le plan de Tune étant à l'infini. *

Il résulte de là et du numéro précédent que trois surfaces homothétiquçs se coupent suivant trois courbes planes jàont les plans passent par une même droite.

263. — Deux sphères, étant bomothétiques, se coupent suivant deux courbes planes dont Tune a son plan à l'infini. Il résulte de là que toutes les sphères sont coupées par le plan à

l'infini suivant le même cercle imaginaire que nous appellerons le cercle imaginaire à V infini.

On conclut de là qu'une section plane d'une surface du second degré sera un cercle, lorsqu'elle passera par les deux points imaginaires où son plan rencontre le cercle imaginaire à l'infini; car si par trois des points de cette section plane on fait passer une sphère quelconque, le plan considéré coupera la surface et la sphère suivant deux coniques ayant cinq points communs, et par conséquent suivant la même conique, qui est par suite un cercle.

Nous pouvons immédiatement déduire de là le nombre des directions des plans des sections circulaires. Une surface du second degré est rencontrée en quatre points imaginaires par le cercle à l'infini; on peut donc mener six sécantes rencontrant le cercle à l'infini et la surface aux mêmes points* De là six directions de plans de sections circulaires, dont deux seulement sont réelles, parce que, parmi les six sécantes considérées, il y en a seulement deux réelles; ce sont celles qui joignent les points imaginaires conjugués.

Les six droites considérées peuvent être partagées en trois couples de deux droites, dont les sommets forment un triangle réciproque par rapport aux sections faites par le plan à l'infini dans la surface et dans la sphère. Il en résulte, d'après le n° 258 que les droites qui joignent ces trois points au centre de la sphère soitf rectangulaires, et il est fecUe d§ ypir que ces direc-

tions spot celles des axes de la surface ; car les six plans des sections circulaires se coupent deux à deux suivant trois droites réelles parallèles aux axes de la surface.

264. — Dans la géométrie à deux dimensions, l'étude des points-cercles doublement tangents aux coniques nous a fourni la notion des foyers; l'étude de points-sphères doublement tangents aux surfaces du second degré nous conduira à la notion des lignes focales dans les surfaces du second degré ; mais à cause de l'importance du sujet nous consacrerons à cette étude lç chapitre suivant

265. — Lorsque les deux plans, suivant lesquels se coupent deux surfaces doublement tangentes, viennent à se confondre, les deux surfaces se raccordent tout le long d'une ligne plane. (Voir la Géométrie analytique.)

Deux surfaces concentriques et semblables se coupent suivant deux plans situés à l'infini; elles se raccordent donc le long de la section faite par ce plan. Cette proposition peut être utile dans les transformations homographiques.

Si S = o est l'équation d'une surface, l'équation

représente une surface se raccordant avec elle le long de la section faite par le plan a = o ; il résulte de cette équation que les deux surfaces sont coupées par un même plan suivant deux coniques doublement tangentes. Si donc l'une des sections devient un point-cercle, ce point sera un foyer de l'autre section. Par conséquent :

i° Si deux surfaces se raccordent, les plans tangents aux ombilics de Vune coupent Vautre suivant des coniques dont les ombilics sont des foyers. (Les ombilics d'une surface sont les extrémités des diamètres conjugués aux sections circulaires. Les plans tangents aux ombilics coupent dope la surface suivant un point-cercle.)

252 livre iv. — chap. m.

2° Si une surface se raccorde avec une sphère y tout plan tangent à la sphère la coupe suivant une conique dont le point de contact du plan avec la sphère est un foyer.