DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ
2dô, — Équation d'une surface rapportée à un tétraèdre réciproque. — Nous avons vu dans l'étude des coordonnées homogènes que, si Ton rapporte une surface du second degré à un tétraèdre dont les quatre faces ont pour équations
a = o, p = o, 7 = 0, $ = o, son équation générale est
A a » P> Y» 8) étant la fonction homogène générale du second degré des variables a, fi, y, 8.
Si le tétraèdre des coordonnées est réciproque par rapport à la surface, en exprimant que chaque sommet est le pôle de la face opposée, on trouve que l'équation de la surface prend la forme
(v) « i +fcp , + cr 1 + « , =o,
Il est du reste évident sur cette équation elle-même, qu'elle représente une surface par rapport à laquelle le tétraèdre des coordonnées est réciproque; car l'équation
a** + ép* -f- cy* = o représente un cône dont le sommet est le point
et l'équation (1) montre que la surface qu'elle représente est enveloppée par ce cône suivant la courbe dont le plan a pour équation
c'est-à-dire que ce plan a pour pôle le sommet du cône.
267. — Lorsque, dans l'équation d'une surface en coordonnées rectilignes
nous avons introduit la lettre t que nous supposions représenter l'unité, pour rendre l'équation homogène en #, y, jz, t % l'équation obtenue
peut être regardée comme représentant la surface en coordonnées homogènes, le tétraèdre des coordonnées ayant pour faces les trois plans des coordonnées rectilignes et le plan situé à l'infini; cela résulte de la définition même des coordonnées homogènes.
L'équation d'une surface rapportée à ses plans principaux ou à un système de plans diamétraux conjugués, lorsqu'on y introduit la lettre t, devient par rapport aux coordonnées homogènes x, y, z, t de la forme (1) ; le tétraèdre ayant pour faces trois plans diamétraux conjugués et le plan situé à l'infini est donc réciproque par rapport à la surface. Cela résulte du reste de la définition même du tétraèdre réciproque.
268. — Condition pour qu'une surface de second degré passe par les sommets d'un des tétraèdres réciproques par rapport à une autre surface du second degré donnée.
Prenons pour tétraèdre des coordonnées un tétraèdre réciproque par rapport à la seconde surface, l'équation de cette surface est alors, si l'on veut,
et la même sur&ce rapportée à un second tétraèdre aussi réciproque aura pour équation
et X, Y, Z, T auront en #, y, s, t des expressions de la forme
X = mx + ny + P z + Q* . Y = m'a? + n'y -j- P* + ?'*
De là. résultent les relations
m % +m ,% + m , '* + tn'"*=i
n* + ri* + ri'* + n"* = \
mn + m W + WW -f- m' V
mp + m'pf + ■» V + m "y" =** * m j + m'}' + m'y + m V = o n/) + n y 4, w y + n y — o
nq + ny + n y + ny =
De ces relations, on déduit, en multipliant les équations (2) respectivement par tw, m\ m", m" et ajoutant
# = roX + wT + m"Z + ro'T y s= nX + n'Y + n"Z -f n*T z == pX + pT 4- p"Z + p"T f = gX4- jT4-g l, Z + jT.
Si l'équation de la première surface rapportée au premier tétraèdre est
(4) ax % -f- éy* -f cx % + tf f 1 + a^y + • • = °>
son équation par rapport au second tétraèdre sera
[am* -f- 6» f + € P % + dq* "h *cmn + . . .)X f
+ (am ,1 +6n ,, + )Y f
+ (am"* + bn"* + JZ 1
+ (am m * + bn m% + )T f
Désignons par a t , 6 t , c t , d t les coefficients des carrés des variables dans cette nouvelle équation; si Ton fait la somme de ces coefficients, en tenant compte des relations (5) , on a
Ainsi, quand on rapporte une surface du second degré aux différents tétraèdres réciproques par rapport à une même surface du second degré, la somme des coefficients des carrés des quatre variables dans l'équation est constante.
Pour que la surface considérée passe par les sommets du second tétraèdre, il faut que l'on ait a i =b l = c i = d i = o, d'où Ton déduit la condition
Si la seconde surface avait pour équation
a > x * 4- by + (fz* + d't* = o,
on ramènerait cette forme à l'équation (i) en posant
àx* = x'*, Vy* = iP>
mais alors l'équation (4) deviendrait
256 LIVRE IV, — CHAP. ni.
et par conséquent la relation cherchée aurait la forme
Théorème VII,
269. — tes tangentes menées du centre d'une surface du second degré aux sphères circonscrites aux tétraèdres réciproques par rapport à cette surface* ont une longueur constante. \
Prenons en effet pour tétraèdre des coordonnées le tétraèdre ayant pour faces les troi§ plans principaux de la surface et le plan à l'infini. L'équation de la surface sera alors
et l'équation d'une sphère quelconque
{x — *t) % + (y — PO* + (* — Y')' — rV = ô > ou
a, (î, y étant les coordonnées rectilignes du centre de la
sphère et r son rayon.
Si l'on appelle T la longueur de la tangente menée du centre
de la surface à la Sphère, on aura
tf + p + f-^r^TK
mais la condition trouvée dans le numéro précédent , pour que la sphère soit circonscrite à un tétraèdre réciproque par rapport à la surface, nous donne
a* + b*+c % — T' = o t Ainsi la longueur T est constante.
Théorème VII!.
270. — Toutes les surfaces du second degré qui passent par sept des sommets de deux tétraèdres réciproques à eux-mêmes par rapport à une mime surface du second degré, passent par le huitième sommet.
On peut, en effet, prendre pour équation de la surface donnée
x* + y* + z* + t* = o, par rapport au premier tétraèdre ;
par rapport au second. Si alors a, b, c, d sont les coefficients des carrés dans l'équation d'une surface quelconque rapportée au premier tétraèdre, a', 6', c', d' les coefficients des carrés dans F équation de la même surface rapportée au second tétraèdre, le raisonnement du n° 268 montre que l'on a
Par conséquent, dès que sept de ces quantités seront nulles, la huitième le sera aussi, ce qui prouve la proposition. Nous avons déjà énoncé le théorème corrélatif (n° 249)»
271. — Les lignes qui joignent les sommets correspondants de deux tétraèdres polaires conjugués, par rapport à une surface du second degré, sont des génératrices du même système d'un hyperboloide à une nappe.
Soient
258 LIVttE IV, — GHAP. m.
les équations des faces d'un des tétraèdres, a, 6, c, d les sommets correspondants du second» Les équations des droites considérées sont évidemment
cp'
en désignant par a. le résultat de la substitution des coordonnées du point a dans l'équation du plan p» Mais alors on a a» = b^ et si on pose
ûp=;w, a Y =«, « 3 =Pj»
les équations précédentes deviennent
Maintenant les conditions pour qu'une droite
û'a -f tfp + c'y + d '8 = o
rencontre chacune de ces lignes droites, sont
m (ab' — bd) + n(ac' — cd) + p(acF — dd) = o , q{W — cV) + r(bd'— db') + m[bd— ab') = o , «(«T — de') + n[cd—ac') + q(cV — bc') = o, p{dd— ad') + r{dV — bd] + s (de' — cd*) = o.
Or si on ajoute ces quatre conditions , le résultat s'évanouit identiquement. Donc toute droite qui rencontre trois des droites considérées rencontre la quatrième ; ainsi les quatre droites sont situées sur une surface réglée du second degré.
La propriété corrélative est que les quatre droites , suivant lesquelles se coupent les faces correspondantes des deux tétraèdres, sont aussi sur un même hyperboloïde à une nappe.
Théorème X,
272. — Par les douze points de rencontre des génératrices d'un tétraèdre et d'une surface du second degré, on peut faire passer quatre plans, chacun d'eux étant mené par trois points situés sur les génératrices d'un même sommet ; les droites d'intersection de ces plans et des faces opposées du tétraèdre sont des génératrices rectilignes du même système d'un hyperboloïde à une nappe.
Soient a, (î, y, 8 les faces des tétraèdres. Si Ton met l'équation de la surface sous la forme
-(p + ^Pï-^ + ^PS-^ + ^S^o, il est facile de voir que les quatre plans ont pour équations
Y = r8 -f- ma -f- p$y 8 = m + q$ -)- rj.
Il nous faut prendre les intersections de ces plans respectivement avec les quatre plans
et ce sont les quatre droites ainsi obtenues qui sont sur un même hyperboloïde. Les conditions pour qu'une droite
an -f- ép + cy + <*& = °> a'a + i'p +ç'Y+d / S=:o,
rencontre ces quatre droites, sont
/ {ccP — d<f) -f m{db' p{da f — 0^0+ q(ad r(aV — 6a') + m(M'.
n [bc' — cb') + q (ca! ■
bd') + n(bc'— cV) ca') +l(cd'—dc') dV) +p{da'— ad') oc') -f r[ab'— 6a')
— adl = o
Or si on ajoute ces équations multipliées respectivement par + 1, — 1 , + 1 , — 1, on trouve une identité. Donc toute droite qui rencontre trois des droites considérées rencontre la quatrième.
Ce théorème est l'analogue du théorème de l'hexagone de Pascal en géométrie plane. Le théorème corrélatif peut s'énoncer ainsi :
Par les génératrices d'un tétraèdre on mène douze plans tangents à une surface du second degré ; ces plans passent trois à trois par quatre points , si Ton combine ceux qui passent par les côtés d'une même face du tétraèdre; les droites qui joignent ces quatre points aux sommets correspondants du tétraèdre sont des génératrices dû même système d'un hyperboloïde à une nappe.
