CHAPITRE IV

lignes focales.

273. — Nous avons appelé , en géométrie plane, foyer d'une courbe du second degré , un point dont la distance à un point quelconque de la courbe est fonction linéaire des coordonnées de ce point.

Il résulte de cette définition que si a/ et y' désignent les coordonnées d'un foyer d'une courbe du second degré, l'équation de la courbe peut se mettre sous la forme

(x — af) % + (y — i/Y + Hp& + n v + p)* = °*

tte équation peut être interprétée autrement : elle exque la courbe est doublement tangente, suivant la droite

mx + ny + p = o, au cercle de rayon zéro, défini par l'équation

Gomme ce cercle se réduit à un point qui n'est autre que le foyer, on peut donner des foyers dans les courbes du second degré cette autre définition :

On appelle foyer d'une courbe du second degré tout point-cercle ayant avec la courbe un double contact.

La ligne des contacts est alors la directrice,

Cette définition peut être généralisée quand on passe à l'étude des surfaces, et elle conduit naturellement à définir ainsi les foyers des surfaces du second degré :

On appelle foyer d'une surface tfu second degré tout pointsphère ayant avec la surface un double contact.

Un pareil point a avec la surface deux sections planes communes ; les plans de ces sections sont tous deux réels ou tous deux imaginaires. Dans les deux cas, ils se coupent suivant une droite réelle , que nous appellerons la directrice correspondante au foyer. Cette droite est la droite des contacts.

La recherche des foyers des courbes du second degré montre que ces courbes ont quatre foyers , dont deux réels situés sur le même axe, et deux imaginaires situés sur l'autre axe.

Nous verrons qu'une surface du second degré admet une infinité de foyers, dont le lieu forme trois coniques, situées dans les plans principaux* Nopis appellerons ces coniques les lignes focales de la surface.

274. — Lignes focales des surfaces à centre. L'équation d'une surface à centre rapportée à son plan principal est

On obtiendra les foyers de cette surface en identifiant son équation avec l'équation

(a) S — LM = o ,

dans laquelle S = o est l'équation du point-sphère, L = o t M = o les équations de deux plans.

De ce que l'équation (2) doit pouvoir s'identifier avec l'équation (1), il résulte que le produit LM ne doit pas renfermer

LIGNES FOCALES. 268

les rectangles des variables ; il est donc de la forme ** + a V + <*"** + àq+b'y + V% + c, ou, ce qui revient au môme,

Cette quaatifcé devant pouvoir se décomposer en facteur? , il faut que d « o et que l'une des trois quantités a, 6, c soit nulle; nous adopterons l'hypothèse c = o et nous déduirons des résultats obtenus, les résultats dans les deux autres hypothèses, simplement par symétrie.

Nous avons donc à identifier l'équation (1) avec l'équation

(* - X? + (y-t/Y + (z- *)* + *{* - cc)* + %-p)»=o ,

ce qui nous donne

i = o, (3) x' -f aà = o , y' + 6p = o ,

Des cinq dernières équations on déduit, par l'élimination de a , b, a, (3, l'équation

À l'hypothèse que nous avons adoptée correspond donc une ligne focale située dans le plan des xy, homofocale à la section principale correspondante et ayant pour sommets les foyers (réels ou imaginaires), situés dans ce plan, des sections principales perpendiculaire^.

Aux deux autres hypothèses correspondent évidemment des résultats analogues dans les deux autres plans principaux.