Les deux plans L et M qui correspondent à un foyer
sont représentés par les équations
(x-ct)v/â+(y — P)vfô — o, (X — «) v^— (y — P) V^ = o.
Ils sont perpendiculaires au plan principal dans lequel se trouve le foyer, et par suite il en est de même de la directrice correspondante au foyer. On aurait pu prévoir ce résultat à priori; car ces plans, coupant la surface suivant la même courbe qu'une sphère , sont des plans cycliques.
Des équations des deux plans L et M il résulte que les coordonnées du pied de la directrice sont a et fi et les équations (3) nous donnent pour les valeurs de ces coordonnées en fonction des coordonnées du foyer
Théorème I.
276. — Le plan qui pusse par un foyer et la directrice correspondante est normal à la ligne focale et coupe la surface suivant une conique qui admet ce point pour foyer et cette droite pour directrice.
L'équation de la normale en un point x\ y* de la ligne focale située dans le plan des xy est
* if
ou
cette équation est évidemment satisfaite par les coordonnées a, p du pied de la directrice.
Ainsi le plan normal à la ligne focale au point F passe par la directrice D. Ce plan coupe la surface suivant une conique et le
LIGNES FOCALES.
point sphère suivant un point-cercle F qui a avec la conique un double contact suivant la droite D.
Théorème II.
277. — Le pied de la directrice correspondante à un foyer est le pôle, par rapport à la section principale, de la tangente à la ligne focale menée par le foyer considère.
Le point a, (3 a, en effet, pour polaire, par rapport à la section principale, la droite représentée par l'équation
** j- py — w
Si Ton remplace a et § par leurs valeurs en fonction des coordonnées du foyer correspondant, cette équation devient r équation de la tangente à la ligne focale en ce point
xa/ a. tâ
278. — Examinons maintenant la nature des lignes focales dans les différentes surfaces à centre.
i° Ellipsoïde. Soit A > 6 > G. Dans le plan xy la ligne focale est une ellipse intérieure à la surface.
Dans le plan yz, c'est une ellipse imaginaire; enfin, dans le plan zx, c'est une hyperbole, 7T dont les sommets réels sont sur l'axe des #, à une distance du centre plus" petite que celle des Fig 115# sommets de l'ellipse focale dans
le plan des xy situés sur le même axe. Cette hyperbole focale passe par les d ombilics de la surface (fig. u5).
2* Hyperboldde à une nappe* — Boit C < o et A > B. La ligne focale dans le plan des xy est une ellipse extérieure à la surface. Dans le plan yz c'est une ellipse imaginaire; enfin, dans le plan des zx c'est une hyperbole dont les sommets sont sur Taxe des a et qui est intérieure à la surface (fi g. 1 16).
Fig. 116.
3° Hyperbolciïde à deux nappes. — Soit C > 0, À* > B 1 . La ligne focale dans le plan des xy est une ellipse imaginaire ; dans le plan des ys, c'est une ellipse dont les sommets sur l'axe des z sont intérieurs à fc. surface; enfin, dans le plaQ des zx c'est une hyperbole dont les sommets réels sont 3ur l'axe des z et plus rapprochés du centre que ceux de l'ellipse focale (fig.
4° Cane. — Dans le cône les lignes focales se réduisent à des systèmes de droites ;
celles qui sont situées dans le plan du plus grand angle du
cône, sont seules réelles.
Fig. 117.
Théorème m.
279, Les lignes focales d'un c6ne sont perpendiculaires aux
plans cycliques $u cane réciproque.
Si l'équation du cône proposé est en effet
l'équation du cône réciproque sera
Ax* + By* + Cz*=:o.
LIGNES FOCALES.
Or les lignes focales du premier cône situées dans lç plan des xy sont représentées par Y équation
et les traces des plans cycliques du second, perpendiculaires au plan des xy> sont représentées par l'équation
et il est évident que ces équations représentent deux systèmes lie droites respectivement perpendiculaires.
Nous fierons une étude spéciale du cane et de ses lignes focales dans un chapitre suivant.
280. — Lignes focales des surfaces dépourvues de centre. — On obtiendra les lignes focales des surfaces dépourvues de centre par la même méthode que celles des surfaces à centre, ou encore, en les considérant comme limites des surfaces à centre.
Le paraboloïde elliptique admet deux lignes focales paraboliques : celle qui est située dans le plan de la parabole principale du plus grand paramètre est intérieure à la surface ; celle qui est située dans l'autre plan principal a ses branches infinies dirigées de l'autre côté et est en partie Intérieure £ Ja surlace (fig. h 8),
Le paraboloïde hyperbolique admet aussi deux lignes focales paraboliques situées dans les deux plans principaux, et présentant leurs branches infinies dans le mêjne sens que la section principale dans le plan de laquelle chacune d'elles se trouve (fig. 119).
Fig. 419.
Fig. US.
281. — Distinction de deux espèces de foyers. — Nous avons appelé foyer d'une surface du second degré tout point-sphère ayant un double contact avec la surface, ou, ce qui revient au même, ayant avec la surface deux sections planes communes. Les plans de ces sections peuvent être réels ou imaginaires; de là deux espèces de foyers. Nous appellerons foyers de première espèce ceux pour lesquels les plans des sections sont réels ; foyers de seconde espèce ceux pour lesquels ces plans sont imaginaires.
282. — Interprétation de V équation S — LM =s o. — Pour les foyers de première espèce, les plans L et M étant réels, l'équation S — LM = o nous donne immédiatement cette proposition :
La distance d'un point quelconque d'une surface du second degré à un foyer de première espèce, est dans un rapport constant avec la moyenne proportionnelle des distances de ce point aux plans menés par la directrice correspondante, parallèlement aux plans cycliques réels de la surface.
Pour un foyer de seconde espèce, L et M étant imaginaires, l'équation ne peut pas être interprétée de la même manière. Mais nous avons vu qu'on peut la mettre sous la forme
Si l'on cherche la distance, comptée parallèlement à un plan z = ma?, d'un point x\ y\ si à une droite
c'est-à-dire la distance I du point xf, y', rf au point où la droite considérée est rencontrée par le plan parallèle à z = mx mené par le point x\ y', z' on a
LIGNES FOCALES. 269
Dans le cas qui nous occupe a et 6 sont tous deux positifs; si a est plus grand que b, on peut poser 1 + m* = 7 , et l'équa-
quation de la surface devient
ainsi le rapport des distances est constant.
Le plan z = mx est un des plans cycliques réels ; mais il est facile de le démontrer géométriquement.
Si Ton considère tous les points de la surface situés sur un plan parallèle au plan z = mx, l'extrémité de la droite qui mesure, parallèlement au plan z = mx, leur distance à la directrice, est la même pour tous, par conséquent tous les points de la surface situés dans ce plan sont tels que leur distance au foyer est dans un rapport constant à leur distance à un point fixe de la directrice ; et, comme le lieu des points dont les distances à deux points fixes sont dans un rapport constant est une sphère, le plan considéré coupe la surface suivant un cercle. Ainsi
Dans une surface du second degré la distance d'un point quelconque à un foyer de seconde espèce est proportionnelle à la distance de ce point à la directrice, cette distance étant comptée parallèlement à Vun des plans cycliques réels de la surface.
Le rapport constant de la distance d'un point au foyer et à la directrice a été appelé le module de la surface. De là l'expression de foyers modulaires qu'on donne aux foyers de seconde espèce.
Le raisonnement qui nous a servi à montrer que le plan z = mx est parallèle à un plan cyclique est en défaut quand le module est égal à 1. Au lieu d'une sphère on a alors en effet un plan , par conséquent chaque plan parallèle au plan % = mx coupe la surface suivant une droite. La surface est donc un paraboloïde hyperbolique, Il est du reste facile de voir
que le caractère distinctif du paraboloïde hyperbolique est d'avoir un module égal à 1.
Théorème IV.
283. — Les lignes focales d'une surface du second degré forment le lieu des sommets des cônes de révolution circonscrits à la surface.
Eu effet, si un cône de révolution est circonscrit à une surface du second degré, son sommet peut être considéré comme un point-sphère auquel le cône est aussi circonscrit et comme deux surfaces enveloppées par le même cône sont doublement tangentes, le sommet du cône est un foyer de la surface*
Réciproquement, lorsque deux surfaces sont doublement tangentes, elles sont enveloppées toutes deux par deux cônes, qui sont de révolution, si l'une des surfaces est une sphère; si la sphère se réduit à un point, les deux cônes se réduisent évidemment à un seul dont le sommet est ce point et qui est encore de révolution; ainsi tous les cônes de révolution, circonscrits à la surface ont leur sommet en un point des lignes focales, et réciproquement tout cône circonscrit à la surface ayant son sommet en un point des clignes focales est de révolution. Les lignes focales sont donc le lieu des sommets des cônes de révolution circonscrits à la surface*
