CHAPITRE V

Surfaces homofooales,

284. — On appelle surfaces homo focales des surfaces ayant mêmes lignes focales. II résulte de cette définition que les surfaces hoinofocales ont mêmes directions d'axes, et qiie la différence dé carrés de leurs axes de même direction est constante.

Nous rapporterons les surfaces hdmofocales à leurs axes communs et notis représenterons par

l'équation de la première Surface, a*, 6% c f pbuvâiit être négatifs Nous représenterons atissi par ô' f , 6*, c" les carrés des axes d'une surface homofocale, ces quantités pouvant aussi être négatives. De sorte qu'on a

Problème.

285. — TVouwr te» surfaces hothôfocûles à une surface donnée et passant pàt un point donné.

Soit

l'équation de la surface donnée. L'équation générale d'une surface homofocale est

En exprimant que cette surface passe par le point x\ y\ s', on a, pour déterminer X, l'équation du troisième degré

Cette équation a toutes ses racines réelles et inégales, car si on suppose que a% &*, c* soient dans l'ordre de grandeur croissante, on voit immédiatement sur l'équation qu'il y a une racine comprise entre — <*> et a* — e, une autre entre a* + e et 6* — e, et enfin une troisième entre 6* + e et c f — e.

Il y a donc trois surfaces homofocales passant par un point donné, et il est facile de voir que l'une est un ellipsoïde, la seconde un hyperboloïde à une nappe, la troisième une hyperboloïde à deux nappes. Si tf = o, l'une des racines de l'équation en \ devient \ = c* et la surface homofocale correspondante est

Ainsi quand le point x\ y\ z' est dans l'un des plans principaux de la surface proposée, ce plan est l'une des trois surfaces homofocales passant par ce point. Si l'on fait tendre z' vers o, on voit que l'une des trois surfaces s'aplatit de plus en plus sur le plan a?y, son contour apparent sur ce plan s' approchant de plus en plus de la ligne focale située dans ce plan, de sorte que la limite des plans tangents menés par une droite extérieure se compose des plans que Ton peut mener par cette droite tangentiellement à la ligne focale,

286. — Expressions des coordonnées d'un point en fonction des axes des surfaces homofocales passant par ce point. — Pour résoudre simplement cette question, nous prendrons pour inconnue dans le problème précédent Taxe des x de la surface cherchée. Si l'on pose 6* — a*=k*iC* — aï^h*,!? et h* pouvant être négatifs, les axes des x des surfaces homofocales passant par le point x\ y', x! seront donnés par l'équation du troisième degré en a r *

a" T à* + k* "•" a* + A* ~ ' OU

+ «'• [A'A* — (A* + k*) if* — A V» — *»z"] — AU- V* = o.

De là on déduit, en désignant par ci, a", a'" les trois axes des x des surfaces cherchées

et par symétrie

CW"*