De l'équation (i) on déduit encore
d'où
ce qui exprime que le carré de la distance d'un point au centre est égal à la somme des carrés de trois des axes des surfaces homofocales passant par ce point, ces axes appartenant aux trois
surfaces et étant dirigées suivant les trois axes de la surface proposée.
On peut, comme exercice de calcul, se proposer de déduire la relation précédente des valeurs de a>", j/'% z'* trouvées dans le numéro précédent.
Théorème I.
288. — Deux surfaces homofocales se coupent mutuellement à angle droit.
Soient
deux surfaces homofocales qui se coupent, x\ y\ z' un de leurs point d'intersections, lés normales aux surfaces en ce point font avec les axes des angles dont les cosinus sont
p»lL P b »x>
p', p" étant les distances de l'origine aux plans tangents aux deux surfaces. L'angle <p des deux normales est donné par la formule
Or si on retranche membre à membre les équations des deux surfaces, en remarquant que
a »t tf t g* #* — c »t c >* 9
il vient
On a donc cosy = o.
Théorème II.
280. — La section diamétrale parallèle au plan tangent en un point d'une surface du second degré a ses axes parallèles aux normales aux deux surfaces homofocales à la proposée qui passent par ce point.
Ces deux normales sont en effet rectangulaires et parallèles au plan de la section ; il reste à voir que les cosinus de leurs directions vérifient la relation qui existe entre les cosinus de deux diamètres conjugués, c'est-à-dire que Ton a
Mais les trois surfaces qui passent par le point x\ y\ *' étant homofocales, on a
a* a"* + Vb'"* + cV 1 ~ °'
Retranchant membre à membre, il vient
Ce qui démontre la proposition.
290. — Longueur des axes de la section. Si Ton désigne par a, (ï, y les angles que fait avec les axes un rayon vecteur de la
surface et par o sa longueur, l'équation de la surface peut s'écrire
i __ cos 1 » cos'p cos'y
Les axes cherchés sont les rayons vecteurs de la surface qui font avec les axes coordonnés des angles dont les cosinus sont
On a donc pour la longueur du premier axe
Mais nous avons
p' 1 — et" "*" 6'* "* c'*
En retranchant , il vient
aV* "^ 6*6'* "*" cV* ~~ p"(a* — «") ' Par conséquent la valeur du premier axe est
celle du second est de même
291, — - Si Ton désigne par p la distance de l'origine au plan tangent à la surface proposée au point x\ y', z\ on a, d'après le second théorème d'Apollonius,
pp'p" = abc', donc
Considérons maintenant une surface du second degré
et appelons a', a", a'", 6', 6", 6'", c', c", c'" les axes des trois surfaces homofocales qui passent par un point quelconque x\ \j, z\ et p', p", p"' les distances de l'origine aux plans tangents à ces trois surfaces, on a
pn
On remarque de suite l'analogie qui existe entre ces valeurs de p',p",p'" et les valeurs données précédemment pour a', y', s' (n Q 286). On peut interpréter cette analogie de la manière suivante: Si l'on prenait pour axes coordonnés les normales à trois surfaces homofocales en leur point de rencontre, p', p", p'" seraient les coordonnées du centre de ces surfaces. La symétrie observée montre qu'il y a trois surfaces homofocales entre elles, ayant pour directions d'axes les normales aux premières surfaces homofocales considérées, passant par le centre de ces surfaces et tangentes à leurs plans principaux ; les carrés des
278 UTBE I¥. — • CHAP. Y.
axes de la surface tangente à yz sont a", a"*» a" 7î ; ceux de la surface tangente à zx 9 b'\ b"\ b m \ enfin ceux de la surface tangente à xy> c n , c"% c"".
De plus, d'après le numéro précédent, si par le point x\y',z' on mène un plan parallèle au plan xy, il déterminera dans la surface qui est tangente à ce plan une section, dont les axes sont parallèles à ox et oy; les carrés de ces axes sont c* — a 2 , c* — 6*; ce plan coupe donc la surface suivant une courbe plane égale et parallèle à la conjuguée de la ligne focale dans le plan xy. (Nous appelons ici lignes conjuguées des courbes ayant mêmes directions d'axes et dont les carrés des axes sont égaux et de signes contraires.)
Problème II.
292. — Trouver U lieu du pôle Sun plan donné par rapport à un système de surfaces homofocales.
Soit
Ax + By + Gz~i
le plan donné, Ç, ti, Ç les coordonnées de son pôle qu'on obtiendra en identifiant l'équation précédente avec F équation
Cette identification donne
Si Ton élimine \ entre ces équations, il vient pour les équations du lieu
Le lieu est donc une droite perpendiculaire au plan.
SURFACES HOMOFOÇALES. 279
Il résulte de là que le lieu du pôle d'un plan tangent à une surface du second degré par rapport aux surfaces homo focales est la normale au point de contact.
Le problème précédent donne aussi immédiatement la solution de cette question : Trouver les surfaces homofoçales à une surface donnée, et tangentes à un plan donné, car il permet de déterminer le point de contact.
Théorème m.
203. — Les axes d'un cône circonscrit à une surface sont les normales aux trois surfaces homofoçales passant par son sommet.
Il résulte, en effet, de la remarque faite dans le dernier numéro, que le trièdre formé par ces trois normales est réciproque par rapport à la surface proposée, et par suite par rapport au cône; car il a son sommet au sommet du cône et les trois points où ses arêtes rencontrent le plan de contact du cône forment un triangle réciproque par rapport à la courbe de contact. Les arêtes de ce trièdre forment donc un système de diamètres conjugués du cône, et comme le trièdre est trirectangle, ses arêtes sont les axes du cône.
Si la surface donnée s'aplatit de plus en plus, en restant ho* mofocale à elle-même, le cône circonscrit tendra vers le cône focal, c'est-à-dire vers le cône ayant pour base la ligne focale dans le plan avec lequel la surface tend à se confondre ; il en résulte que le plan tangent à une surface est un des plans principaux du cône focal correspondant, et par conséquent les plans menés par une tangente à une surface tangentiellement au cùne focal du point de contact, font des angles égaux avec le plan tan» gent à la surface.
Cette propriété est analogue à celle des rayons vecteurs des foyers dans les courbes du second degré.
Si la surface proposée devient un cône, on a cette proposition ;
Les plans qui passent par les deux lignes focales d'un cône et par une même génératrice font des angles égaux avec le plan tangent au cône le long de cette génératrice.
294* — Équation du cône circonscrit rapporté à ses axes. — Soient a, (3, y les angles que fait avec les axes du cône une normale quelconque à ce cône. La somme des carrés des projections des axes d'une des trois surfaces homofocales ayant pour centre le sommet du cône et passant par le centre de la surface à laquelle le cône est circonscrit, est égale à la somme des carrés des projections de trois quelconques des diamètres conjugués de cette surface. Prenons par exemple celle des Irois surfaces qui a pour axes a', a", ci". La somme Hes carrés des projections des axes de cette surface sur la normale au cône est
rf'cos'a + a" f cos*p 4- a^cos*? ,
et cette quantité est égale à la somme des carrés des projections de trois diamètres conjugués quelconques de la surface. Or nous connaissons un système de diamètres conjugués de cette surface, celui qui est formé par le rayon vecteur mené du sommet du cône au centre de la surface à laquelle le cône est circonscrit, et par deux droites égales et parallèles aux axes de la courbe conjuguée à la ligne focale de cette surface dans le plan yz. La quantité écrite plus haut est donc égale à la somme des carrés des projections de ces trois droites sur la normale au cône. Mais les projections de chacune de ces trois droites ne changent pas, lorsqu'on déplace le sommet du cône dans le plan tangent perpendiculaire à la normale considérée. Nous pouvons donc, pour évaluer la quantité précédente, supposer le sommet du cône sur la surface primitive, ce qui réduit le cône à un plan ; alors a" devient a\ cos* a devient î , et les autres cosinus o. Par conséquent on a la relation
a' 2 cos* + a" 8 cos*p + a'^cos'r = a 2 ,
que Ton peut encore écrire
(û'« a»)cos J a + {a" 1 — a*)cos s p + [a wt — û*)cos»y = o. '
Comme a, (3, y sont les angles d'une normale quelconque au cône circonscrit proposé, avec les directions de ses axes, l'équation du cône réciproque rapportée aux mêmes axes est
et par conséquent l'équation du cône circonscrit lui-même, rapporté à ses axes , est
Théorème IV.
205. — Les cônes ayant pour sommet un point fixe et circonscrits à une série de surfaces homofocales sont homo focaux, et leurs lignes focales sont situées sur les surfaces homofocales qui passent par le sommet.
Il est d'abord évident que tous les cônes considérés ont mêmes directions d'axes, puisque ce sont les directions des normales aux trois surfaces homofocales passant par le sommet. L'équation de ces cônes, rapportés à leurs axes, montre de plus que la différence des carrés de leurs axes est constante. Tous les cônes considérés sont donc homofocaux ; si l'on prend les axes des cônes pour axes, des coordonnées, le système des deux droites focales situées dans le plan xy est représenté par l'équation
Le plan, mené par le centre des surfaces homofocales, pa-
rallèlement au plan asy, coupe Tune des surfaces homofocales qui passe par le sommet du cône, suivant la conique (n° 290)
, xt 1 £-,.
la section par le plan parallèle mené par l'origine, a pour équation
r , + — rr=0,
ar* — a'* ' a m% — a" %
ce qui démontre la seconde partie de la proposition.
296. — Surfaces homofocales tangentes à une droite. Soit A un point de cette droite ; prenons pour axes des coordonnées les normales aux surfaces homofocales passant par ce point , et soient a', a", a 1 " les axes de ces surfaces parallèles àl'axea de la surface cherchée. La surface cherchée étant tangente à la droite donnée, en un certain point M , cette droite est une génératrice du cône ayant pour sommet le point A et circonscrit à cette surface ; si doiïc a, p, y sont les angles de la droite avec les axes que nous avons choisis, on aura (n° 294)
COS*a C0S*P COS*Y
Cette équation étant du second degré en a% il y a deux surfaces homofocales tangentes à la droite donnée. Soient a t i et a* s les racines, on verra aisément que les deux cônes
a'* — a\ + <FTZ^r+ ^n a * % — °>
se coupent à angle droit. Ainsi, On peut mener deux surfaces homofocales tangentes à une
SURF AGES HOMOFOCALES. 283
droite, et les deux plans tangents au point de contact sont rectangulaires.
On peut encore énoncer cette proposition de la manière suivante :
Les cônes circonscrits à deux surfaces homofocales et ayant même sommet se coupent à angle droit
Nous donnerons maintenant un exemple de l'emploi de la théorie précédente.
Problème III.
297. — Irouver le lieu du sommet d'un trièdre trirectangle dont les arêtes sont tangentes à une surface du second degré.
Prenons pour axes des coordonnées les axes de la surface donnée S
et soient a?, y, z les coordonnées d'un point M du lieu. Appelons a, (3, y l es angles que fait une des tangentes à la surface avec les axes du cône circonscrit ayant pour sommet le point M ; a', (î\ y' les angles que fait la seconde arête du trièdre avec les mêmes axes, a", (3", y" les angles de la troisième. Ces trois droites étant sur le cône circonscrit, on a, en appelant a\ a"„ a 1 " les axes parallèles à l'axe a de la surface S, des surfaces homofocales passant par le point M
cos'a cos*p cos'y
et* — a* + a"* — a* + 'âr r ^â t ~ °'
cosV cos'jï' cosY __
a'* — à* + a"* — a* + a mt — a* ~~ °*
cosV , cos*ft" . cosV a" — a 2 ^ a" 1 — a 1 ^ a"" — a* '
d'où, en ajoutant
a' 1 — a» ^ a"*~ a %mt a"* — a* ~ °*
Mais les quantités a'* — a% a'" — a% a m — a* sont les trois racines de l'équation
ou
La somme des inverses des racines dé cette équation est égale au coefficient de X divisé par P; on a donc pour l'équation du lieu cherché
298. — Des points correspondants. Si a, 6, c, a\ V 9 c' sont les axes de deux surfaces homofocales, deux points x, y, z, x\ y', z' de ces surfaces sont dits correspondants lorsque
A un point dune surface correspondent sur les surfaces homofocales de même espèce les points situés sur l'intersection des deux autres surfaces homofocales passant par ce point; car on a
x'* et -Tj reste par suite constant tant que a"% a'"* restent constants,
c'est-à-dire quand on se déplace le long de l'intersection des deux surfaces a" et a"'.
Théorème \.
