CHAPITRE VI

Odne et ellipse spHérique.

301. — Tout cône de Tordre m peut être considéré comme un cône ayant pour base une courbe plane de Tordre m ; il en résulte que les propriétés descriptives des lignes planes algébriques, où Ton ne fait intervenir que des points et des droites, se transforment en propriétés du cône ; les points et les droites sont remplacés par des droites et des plans passant au sommet du cône, et vice versa. Ainsi, par exemples, les théorèmes des hexagones inscrits et circonscrits, des polygones pivotants,... dans les courbes du second degré, donnent des propriétés analogues dans les cônes du second degré.

Imaginons une sphère ayant son sommet au centre du cône; le cône tracera une courbe sur la surface de la sphère; les droites et les plans menées par le sommet détermineront des points et des arcs de grand cercle. La figure ainsi formée, perspective sur la sphère de la figure plane, est d'un emploi commode pour exprimer les propriétés des cônes. Deux courbes quelconques tracées sur la sphère, se coupent sous le même angle que les cônes qui ont ces courbes pour bases. On cône du second degré trace sur la sphère deux courbes fermées symétriques et égales dont Tensemble a reçu le nom de conique sphérique; chacune d'elles considérée isolément s'appelle ellipse sphérique.

La conique sphérique admet trois axes de symétrie, qui sont les intersections de la sphère par les plans principaux du cône ; elle admet aussi six centres, qui sont les points où la sphère est rencontrée par les axes. Chaque ellipse sphérique admet un centre intérieur qui est l'extrémité de Taxe intérieur au cône; elle admet aussi deux axes de symétrie rectangulaire qui sont

les intersections de la sphère par les plans principaux du cône passant par l'axe intérieur.

302. — Pôles et polaires sphèriques. — Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite dans le plan, étant égal au rapport anharmonique du faisceau des quatre droites, est aussi égal au rapport anharmonique des points sur la sphère, si Ton prend dans l'évaluation de ce rapport les sinus des arcs et non ces arcs eux-mêmes. A quatre points conjugués harmoniques dans le plan, correspondront quatre points conjugués harmoniques sur la sphère. Par suite, la polaire d'un point par rapport à la base du cône étant une droite, la polaire d'un point par rapport à une ellipse sphérique sera un grand cercle.

On pourra donc, en prenant pour directrice une ellipse sphérique construire sur la sphère des courbes polaires réciproques, et chaque théorème donnera naissance à un théorème corrélatif.

Il existe sur la sphère un autre mode de transformation des figures fréquemment employé et intéressant en lui-même, parce que c'est le premier exemple de la dualité des propriétés de l'étendue. C'est le mode de transformation étudié en géométrie sphérique, dans lequel on fait correspondre à un triangle le triangle supplémentaire. Yoici comment on peut déduire ce mode particulier de la transformation par les polaires réciproques dans l'espace.

Considérons une sphère de rayon r; un point placé sur le rayon OM, à une distance d du centre, a pour plan polaire un plan perpendiculaire à OM et à une distance du centre égale

à — . Comme cette distance tend vers o en même temps que r,

les plans polaires des divers points de la droite OM , par rapport à une sphère de rayon infiniment petit, coïncident avec le plan mené par le point perpendiculairement à OM; on peut donc regarder ce plan comme étant le plan polaire de la droite OM. Par suite, si on a une figure formée de droites et de plans passant par le même point 0, on obtiendra la figure

corrélative en menant des plans et des droites perpendiculaires aux droites et aux plans de la première figure. Sur la sphère, on substituera à un grand cercle son pôle, et réciproquement. Dans ce système, à un cône du second degré, correspond le cône supplémentaire.

Une propriété remarquable de ce mode de corrélation sur la sphère, est exprimée par la formule

dans laquelle S désigne l'aire sphérique comprise dans une ligne fermée quelconque, aire rapportée au triangle sphérique trirectangle comme unité, L le contour de la figure supplémentaire, mesuré avec le quadrant pour unité.

En effet, Taire d'un polygone sphérique de n cotés, dont A, B, G... sont les angles, est

Les côtés a* 6, c,... du polygone corrélatif sont supplémentaires des angles du premier ;

En ajoutant membre à membre, on trouve S + L = 4.